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1、湖北省恩施州2017-2018学年高三第一次教学质量监测考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则的取值范围是（ ）A B C D2.已知为虚数单位，复数满足，且，则（ ）A2或 B C2 D3.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最髙气温(单元：)的数据，绘制了如图的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图,下列结论错误的是（ ）A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温 C.月温差(最高气温减
2、最低气温)的最大值出现在1月 D.最低气温低于的月份有4个4.已知等差数列的前项和为，公差，且，则（ ）A B C D5.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何? ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A平方尺 B平方尺 C平方尺 D平方尺6.定义表示不超过的最大整数，例如，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ） A B C D7.已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的
3、图象，则（ ）A B C D8.设满足约束条件则的最大值为（ ）A B3 C9 D129.函数的部分图象大致是（ ）A B C D10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 B3 C2 D111.设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D12.已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，则 14.的展开式中常数项为 15.在正项等比数列中，是的两个根，则 16.设分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交
4、于点，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.18. 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的
5、卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.（1）求甲获得奖品的概率；（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望.19. 如图，在三棱台中，分别是的中点，平面，是等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.20.设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点.（1）若点为线段的中点，求直线的方程；（2）证明:以线段为直径的圆恒过点.21.函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明:.请考生在22、23两题中任选
6、一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数)，直线的参数程为 (为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线.（1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）若的解集为，求的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BADCC 6-10: DACBD 11、12：BA二、填空题13. 14. 10 15. 16. 三、解答题17. 解：（1）
7、因为，所以，即，所以.（2）由，得，化简得，解得，或（舍去），所以.18.解:（1）设甲获得奖品为事件，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则.（2）随机变量的取值可以为1,2,3,4.,.的分布列为所以数学期望.19.解:（1）证明：因为,为棱的中点，所以,所以四边形为平行四边形，从而.又平面,平面,所以平面.因为是的中位线,所以,同理可证,平面.因为,所以平面平面.又平面,所以平面.（2）以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,则.设平面的一个法向量,则 即取，得.同理，设平面的一个法向量，又,由，得取，得.所以，即二面角的正弦值为.20. （1）解:
8、联立方程组，消去得，设，则.因为为线段的中点，所以，解得，所以直线的方程为.（2）证明：因为，所以，即，所以，因此，即以线段为直径的圆恒过点。21 解:的定义域是，.（1）令，这是开口向上，以为对称轴的拋物线.当时，当，即时，即在上恒成立.当时，由得，。因为，所以，当时，即，当或时，即.综上，当时，在上递减，在和上递增；当时，在上递增.（2）若函数有两个极值点，且，则必有，且，且在上递减，在和上递增，则. 因为是的两根，所以，即.要证成立，只需证，即证对恒成立.设，则，当时，故，故在上递增，故.所以对恒成立，故.22.解：（1）将的参数方程转化为普通方程，消可得：，因为，所以，所以的普通方程为.（2）直线的直角坐标方程为.由（1）知曲线与直线无公共点，由于的参数方程为(为参数，)，所以曲线上的点到直线的距离为，所以当时，的最小值为. 23.解：（1） 即，平方整理得，所以是方程的两根，所以，解得.（2），因为对任意，恒成立，所以当时，解得；当时，此时满足条件的不存在，综上可得，实数的取值范围是.
