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1、湖北省恩施州2017-2018学年高三第一次教学质量监测考试理科数学第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,若,则的取值范围是( )A B C D2.已知为虚数单位,复数满足,且,则( )A2或 B C2 D3.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最髙气温(单元:)的数据,绘制了如图的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据该折线图,下列结论错误的是( )A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温 C.月温差(最高气温减
2、最低气温)的最大值出现在1月 D.最低气温低于的月份有4个4.已知等差数列的前项和为,公差,且,则( )A B C D5.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何? ”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长、宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上的条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A平方尺 B平方尺 C平方尺 D平方尺6.定义表示不超过的最大整数,例如,执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的( ) A B C D7.已知函数的最小正周期为,且其图象向右平移个单位后得到函数的
3、图象,则( )A B C D8.设满足约束条件则的最大值为( )A B3 C9 D129.函数的部分图象大致是( )A B C D10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A4 B3 C2 D111.设椭圆的一个焦点为,点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )A B C D12.已知,若对任意的,不等式恒成立,则的最小值为( )A B C D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.在中,则 14.的展开式中常数项为 15.在正项等比数列中,是的两个根,则 16.设分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线分别交
4、于点,且在第一象限,若为等边三角形,则双曲线的实轴长为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在中,角所对的边分别为,且.(1)求;(2)若,求的面积.18. 某班为了活跃元旦晚会气氛,主持人请12位同学做一个游戏,第一轮游戏中,主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中,每人依次从中取出一张卡片,取到标有数字7到12的卡片的同学留下,其余的淘汰;第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中,每人依次从中取出一张卡片,取到标有数字4到6的卡片的同学留下,其余的淘汰;第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的
5、卡片放入一个不透明的盒子中,每人依次从中取出一张卡片,取到标有数字2,3的卡片的同学留下,其余的淘汰;第四轮用同样的办法淘汰一位同学,最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.(1)求甲获得奖品的概率;(2)设为甲参加游戏的轮数,求的分布列与数学期望.19. 如图,在三棱台中,分别是的中点,平面,是等边三角形,.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.20.设直线的方程为,该直线交抛物线于两个不同的点.(1)若点为线段的中点,求直线的方程;(2)证明:以线段为直径的圆恒过点.21.函数.(1)当时,讨论的单调性;(2)若函数有两个极值点,且,证明:.请考生在22、23两题中任选
6、一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数程为 (为参数),设直线与的交点为,当变化时点的轨迹为曲线.(1)求出曲线的普通方程;(2)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,点为曲线的动点,求点到直线的距离的最小值.23.选修4-5:不等式选讲已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BADCC 6-10: DACBD 11、12:BA二、填空题13. 14. 10 15. 16. 三、解答题17. 解:(1)
7、因为,所以,即,所以.(2)由,得,化简得,解得,或(舍去),所以.18.解:(1)设甲获得奖品为事件,在每轮游戏中,甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关,则.(2)随机变量的取值可以为1,2,3,4.,.的分布列为所以数学期望.19.解:(1)证明:因为,为棱的中点,所以,所以四边形为平行四边形,从而.又平面,平面,所以平面.因为是的中位线,所以,同理可证,平面.因为,所以平面平面.又平面,所以平面.(2)以所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,则.设平面的一个法向量,则 即取,得.同理,设平面的一个法向量,又,由,得取,得.所以,即二面角的正弦值为.20. (1)解:
8、联立方程组,消去得,设,则.因为为线段的中点,所以,解得,所以直线的方程为.(2)证明:因为,所以,即,所以,因此,即以线段为直径的圆恒过点。21 解:的定义域是,.(1)令,这是开口向上,以为对称轴的拋物线.当时,当,即时,即在上恒成立.当时,由得,。因为,所以,当时,即,当或时,即.综上,当时,在上递减,在和上递增;当时,在上递增.(2)若函数有两个极值点,且,则必有,且,且在上递减,在和上递增,则. 因为是的两根,所以,即.要证成立,只需证,即证对恒成立.设,则,当时,故,故在上递增,故.所以对恒成立,故.22.解:(1)将的参数方程转化为普通方程,消可得:,因为,所以,所以的普通方程为.(2)直线的直角坐标方程为.由(1)知曲线与直线无公共点,由于的参数方程为(为参数,),所以曲线上的点到直线的距离为,所以当时,的最小值为. 23.解:(1) 即,平方整理得,所以是方程的两根,所以,解得.(2),因为对任意,恒成立,所以当时,解得;当时,此时满足条件的不存在,综上可得,实数的取值范围是.