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1、第四章 随机模拟4.1随机模拟与蒙特卡洛方法模拟是把某一现实的或抽象的系统的部分状态或特征用另一系统（成为模型）来代替或模仿。模拟这个概念并不陌生，早在几千年前我国就出现了系统模拟的思想，中国象棋，便是模拟古代战争的一种游戏。军事上的军事地图、沙盘作业和实战演习等则是模拟两军对峙的活动情况。这种在实物模型上进行试验的模拟方法称为物理模拟。在生产管理中，为了研究和分析生产组织于管理问题，经常利用大量人力对生产过程中各种活动的状态进行动态记录，然后利用记录下的信息对生产过程进行重演，以便提出改进的技术组织措施。显然，这是一种“纸上模拟”方法。人们利用构造的模型做试验，来学习、研究、分析原有的系统或
2、设计新的系统。在模型上做的试验称为模拟试验，所构造的模型称为模拟试验。以上这些模拟方法往往需要花费大量的人力物力。而在许多情况下，人工对复杂系统进行动态模拟简直是不可能的事情。电子计算机的出现大大改变了模拟方法的面貌。由于计算机具有数值计算与进行逻辑判断的能力，具有存储容量大、运算速度快的优点，再加上计算机软件的高度发展，因此模拟可以在计算机上进行。与此同时，人们对复杂系统的数量关系和逻辑关系的研究也取得了很大的进步，这使得计算机模拟在复杂系统或过程的研究中发挥着越来越重要的作用。计算机随机模拟，是概率论、数理统计、计算数学和计算机科学等学科的一个交叉性、边缘性及应用性很强的学科分支。计算机随
3、机模拟利用概率论、数理统计中提供的概率统计模型，在数字计算机上进行模拟计算、对试验观测数据或随机模拟数据进行统计分析或处理，给出实际问题性质的统计描述、统计预测和实时控制。计算机随机模拟在科学技术、国防建设、工农业生产以及社会科学等各方面有着广泛的应用。在第二次世界大战期间，美国科学家冯诺依曼（Von Neuman）和乌拉姆（Ulam）两人从事与研制原子弹有关的秘密工作，他们的具体工作是对裂变物质中子的扩散进行随机模拟。为保密起见，他们把正在进行的工作以赌城名蒙特卡洛作为秘密代号来称呼。蒙特卡洛（Monte Carlo）是摩纳哥国的一个城市，是世界闻名的赌城。用赌城名比喻随机模拟既风趣又贴切，
4、得到人们的普遍接受。蒙特卡洛方法的基本思想是把各种随机事件的概率特征（如概率分布、数学期望等）与数学分析的解联系起来，用试验的方法确定事件的相应概率与数学期望。因而，蒙特卡洛方法的突出特点是，概率模型的解是由试验得到的，而不是计算出来的。它可以解决其他方法无法解决的实际问题、对理论研究也可以起到补充及辅助作用。此外，使用蒙特卡洛方法模拟一个实际过程往往需要用大量随机数，计算量很大，人工计算是不可能的，只能在计算机上实现。因此，蒙特卡洛方法的广泛应用于计算机技术的发展是不可分割的。从方法特征的角度来说，19世纪后半叶著名的蒲丰随机投针试验就是早期用随机试验求值的范例。例1 蒲丰随机投针试验古代的
5、蒙特卡洛方法。法国博物学家蒲丰（17071788），曾经研究这样一个问题：假设在平面上有许多平行直线（为方便计，假设它们之间的距离均为2d），向该平面上随机投一枚针（其长度为2l，ld），问：这一枚与任一平行直线相交的概率为多少？让我们把这个问题仔细考虑一下。针落在平面上的情况，可由针的中心点到最近平行线的距离以及针与平行线的夹角来决定。如果针中点离平行线很近，角度又较大（如图4-1(a)所示），针便与平行线相交。如果情况相反，或者角度小（如图4-1(b)所示），或者距离大（如图4-1(c)所示），针就全部落在一条带子里。说精确些，设M为针的中点，两条平行直线分别为x轴与直线：y=2d。x为M
6、与最近平行线的距离；推荐精选为针与平行线的夹角。0xd，0。如果针的一半长度在竖直方向的投影大于从针中点到最近平行线的距离，则针与平行线相交（如图(a)），反之则不相交（如(b)和(c)）。事实上，我们已经看到（再看图4-1所示的3种情况），针中点离边界的距离如果小于半根针的竖直投影，则针就会与边界相交。这时，代表这个距离和角度的点在正弦曲线x=lsin之下。与此相反，针完全落在两条平行线之间时，相应的点在曲线之上。这样，可以给出针与平行直线相交的充要条件为：0xlsin。见图4-2。 于是，我们把原问题转化为如下问题：在图4-2中的矩形区域S：0xd，0里随机地投一个点，求点落入阴影区域的概
7、率p。由几何概率的求法的知，此概率为两个区域的面积之比，即。由微积分可计算得D得面积等于2。所以如果的值已知，则以代入即可计算得出概率值p。反之，如果已知概率值p，则可以利用上式求值。而概率值P可以用随机模拟的方法得到其近似值：假设投针N次，其中针与平行线相交n次，则概率n/N可作为p的估计值，于是由，可得：历史上有一些学者曾经亲自做过这个试验，表4-1记录了他们的试验结果，其中，拉扎里尼（Lazzerini）1901年得到的结果与的精确值最接近，一直到第七位小数才开始不相同。表4-1试验者年份l/d投掷次数N相交次数n的近似值沃尔夫（Wolf）18500.8500025323.1596福克斯
8、（Fox）18840.7510304893.1595推荐精选Lazzerini19010.83340818083.1415雷纳（Reina）19250.5425208593.1795通过这个例子，蒙特卡洛方法的基本思想可见一斑：设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解。一般来说，模拟试验的目的有以下几个方面：(1) 系统地比较与评价，在指定的性能指标下对实际存在的或所设计的系统性能做出对比和评价；(2) 系统地分析与预测，分析确定一些因素对整个系统性能的影响以及系统在某些条件下的性能；(3) 系统地优化，在许多因素中找出使系统
9、性能最优的因素参数；(4) 系统地假设检验，用模拟结果与系统实际状态作对比以检验对系统所作假设是否合理。随着计算机技术的迅速发展和普及，计算机模拟技术的发展也很快。一方面是从尖端军事科学技术的应用推广到一般民用技术的应用。计算机模拟技术是随着导弹、原子弹等尖端技术发展起来的。随着计算机特别是微型计算机的普及，促进了计算机模拟技术的发展。另一方面是从自然科学的应用推广到社会科学的应用。模拟方法本来是自然科学和工程技术工作者经常使用的，但是随着计算机技术的发展，社会科学工作者发现，他们也可以在计算机上建立模型，进行模型试验，并且取得了很好的效果。因此在商业、经济、管理等部门越来越普遍地采用计算机模
10、拟方法。目前，计算机模拟技术已经是企业使用的最有效的方法之一。有人对美国1000家大公司做了统计，在公司计划中使用计算机模拟技术的频率占29%，大于其他各种数学方法的使用频率，见表4-2。表4-2使用的数学方法使用频率（%）使用的数学方法使用频率（%）使用的数学方法使用频率（%）计算机模拟线性规划网络分析292114库存理论非线性规划动态规划1284整数规划排队论其他336计算机模拟应用得如此广泛，主要在于它在解决如下问题上有较大的优势。1. 无法实施的一类问题在现实世界中有许多问题无法以付诸实施来解决，例如要预测未来5年或10年的经济计划执行情况，我们不可能让国民经济去实际运行一段时间以取得
11、有关经济指标。但可以构造一个经济模拟模型，利用尽可能收集到的数据，根据不同设想对其进行模拟实验，从而得到各种预测的经济计划指标。又如在研究某地区的抗灾能力时，可以在若干假定的条件下，应用计算机模拟来估计自然灾害对于某些设施可能遭受的破坏程度。2. 大量方案的比较和选优当某个计划的执行存在大量的备选方案时，例如要设计一条地铁线路，由于线路配置和线路参数的变化，若想把全部方案都计算出来进行比较选优，其工作量之大是难以想象的。这一类问题适宜于用计算机模拟来解决。电子线路设计的模拟以及企业的财务计划的模拟等等都是属于这种情况。在国外，已经研究出了许多计算机模拟软件，用来对某些系统的设计进行比较选优，以
12、获得经济合理地方案。3. 大型复杂系统有一些复杂系统，如宇宙飞船系统、交通运输系统、生产调度系统等，其运行状况难以用一般的理论分析或数学求解的方法来进行。为此，可以把整个系统分解并构建模拟模型，然后利用模拟实验来检验和判明系统的内部性能和内在联系，作为系统最佳运行的依据。推荐精选4. 有危险的试验或训练在研制新产品或者进行新的开拓性试验时，也存在着大量的风险，一旦遇到挫折或失败，会遭到巨大的经济损失，甚至对企业带来致命的打击。对于这样一类问题，要事先进行各方面的调研和分析，构造模拟模型，并进行模拟实验，然后制定出对策。在工业发达国家，应用计算机模拟进行投资风险性分析，已经得到了迅速的发展与应用
13、。还用一种情况是对于某些有危险地呃训练，例如飞行员、宇航员的培训，往往需要利用模拟飞行器在地面上作充分的训练后才能进行实际飞行训练，以保证训练的安全，并能节约大量的人力和财力。5. 无法重复的现象对于大型工程项目的建设，例如，新建世博会场馆，一条磁悬浮铁路或一个机场，一旦建成后发现有问题，想再改建或重建，需要花费大量的人力、物力和财力。所以，在设计时如何确定设计参数、安排施工进度和步骤，以及完工后对其他方面的影响等等，都要求事先给出答案。因此，把要设计的交通系统构造成模拟模型，对将要新建的交通设施反复进行模拟实验。这样一来，无法重现的现象可以在计算机中反复地重演，为我们提供有关的试验数据。推荐
14、精选4.2随机数的产生计算机模拟能够成功应用的关键是在计算机上实现真正的随机抽样，而随机抽样产生的基础是随机数。所谓随机数，就是具有给定概率分布的随机变量的可能值。例如区间（0，1）上均匀分布的随机数。在随机数中，最简单、最基本、最重要的是（0，1）均匀分布的随机数。它的产生方法虽简单；但是其他任何分布的随机变量，都可以通过（0，1）随机数的变换而获得。一、 随机数的产生方法1. 随机数乘为了产生随机数，可以利用随机数表。随机数表有0，1，9等10个数字组成，相互独立地以等概率0.1的概率出现，这些数字序列叫做随机数字序列。如果要想得到具有M位有效数字的随机数，只需将表中每个相邻的随机数字合并
15、在一起。用随机数表产生随机数存在两大缺点。第一个缺点是它占用计算机大量存储单元，如果存入磁盘或磁带中，还会占用大量的计算机时间。第二个缺点是，随机数表再大，也很难满足蒙特卡洛方法对随机数需要量非常大的要求。由于这两个缺点，用随机数产生随机数的方法现在很少被人采用。2. 产生随机数的物理方法利用某些物理现象可以产生随机数。再电子计算机上增加一些特殊设备，可以在电子计算机上直接产生随机数，这些特殊设备成为随机数发生器。其原理是利用电子线路中的噪声或核辐射衰变现象，把具有随机性质过程的随机物理量变换为随机数。用物理方法产生的随机数，随机性特好，但代价高昂，不能重复，使用不便。3. 产生随机数的数学方法随机数还可以利用数学迭代或递推公式，产生随机数。用数学方法产生的随机数存在两大问题，其一，递推公式以及初始值一旦确定后，整个随机数序列便被唯一确定下来了。或者说，随机数序列中除前几个随机数是选定的外，其他的所有随机数都是被它前面的随机数所唯一确定，不满足随机数相互独立的要求。其二，既然随机数序列是用递推公式确定的，而在电子计算机上所能表示的0,1上的数又是有限多的，因此，这样的随机数序列就不可能不出现重复并
