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1、机械能守恒问题也要分析过程邬鹏举(包头市第一中学,内蒙古包头市 014040）某参考资料中出现一道机械能守恒的计算题，原题及详解如下:一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为300角的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体m2连接，设定滑轮到竖直杆距离为m,又知物体m2由静止从B连接为水平位置开始下滑1m时，m1和m受力恰平衡，如图所示（g=10/s）求：（）m2下滑过程中的最大速度;（2）m2沿竖直杆能够下滑的最大距离。原题解析：(1)m1、m2与地组成的系统的机械能守恒,物体m由静止开始先做加速度不断减小的加速运动，当加速度减小到零时,速度最大，此时m2受力平衡.随后m2向下做
2、加速度不断增大的减速运动,速度为零时,m下滑到最大距离。选取A水平面为重力势能零势面，设2的最大速度为Vm。对m2从B到C的过程中，设开始时斜面上绳长为l1，m2到C时斜面上绳长为l2，由机械能守恒定律： ，（1)设ABq ，tanq=，q=60，则V=Vmcoq=.5Vm ,（2) 又， ,(3）再根据m1、m2此时受力平衡,可知绳子拉力：Tcoq=m2，T=1gsinq ，所以=0。25m1 。（4)将（2)（3）(4）代入（)式，整理得:。（2)设m2沿竖直杆能够下滑的最大距离为H,设此时斜面上绳长为3，则由机械能守恒定律：，又，代入上式解得评析：此题的确为一道典型的机械能守恒问题，但却
3、是一道过程很复杂的题目，题目中提到2下落1米时m1、m2都平衡,意味着在此时刻m1和m同时达到最大速度，否则必然存在一个物体有加速度而另一个物体加速度为零的情况.但是实际运动的情况是否如题中分析呢?我们可以做如下推导：因为运动过程中机械能守恒，所以m2减少的重力势能等于m1增加的重力势能和m1与各自增加的动能。由此可列方程如下：,其中，代入左式得:图1按题目中所给条件m=m2的结论代入结果中,并以h为横坐标、v1和v2为纵坐标作函数图象如图1(注:本文所有数据图中的单位都统一如下:时间(妙)、高度位移(米)、加速度（米每二次方秒)）。从图上可以看出m1和2并不是同时达到最大速度，意味着题干中m
4、1和2同时平衡的假设是不成立的。为了更进一步了解系统运动过程的详细情况,即运动物体的各个物理量（位移、速度、加速度）随时间的变化情况，我们用微分方程来列一下本题中的运动情景。本题中两个物体都是受完整约束的有势系,因此可以用完整有势系的拉格朗日方程来表示,我们以m运动位移h作为广义坐标,AB平面为重力势能零势面，拉格朗日函数可表示如下:，Epm1为1的初态重力势能。写出拉格朗日方程:，把L的表达式代入得：,同样把m12的结论代入左式,并使用atab数值求解微分方程，可分别求得h随时间的变化，h的一阶导数（m速度2)、二阶导数（m加速度a）随时间的变化情况,此时m1的速度；对1和m分析受力可知，m
5、1的加速度，以时间为横轴，其余变量为纵轴作图，如图2、图3.由图像可以看出m的确比晚达到最大速度，且它们的加速度变化情况也不相同。利用Matlab数值解微分方程特点，分别计算了m1、m2速度、m、m2加速度随下降高度的变化情况，如图4。从图4也可以看出m1、m的确不能同时达到最大速度.由以上几幅数据图可以看出,m1、滑轮、斜面组成的系统中的两个物体实际做周期性振动，且二者存在一定的相位差，它们不能同时达到最大速度。对第(2)问分析,m2沿竖直杆能够下滑最大距离时速度为零,因此沿绳方向的分运动一定也为零，此时m1和m2同时速度为零。从m1和m2的速度位移图（图4）中我们也能够看到这个结论，此时位移为23m，因此第（)各问题的研究过程是符合实际运动过程的,因此使用机械能守恒定律就能够得到正确的结果.通过以上分析，我们得出这样一个结论，虽然机械能守恒定律是研究物体初末状态的物理规律，但在使用的时候也绝对不能忽视物理过程。（收稿日期:00- ）邬鹏举 通讯地址：内蒙古包头市第一中学 邮编： 0140电话： Email： 文中如有不足，请您指教！ /
