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1、具有自身阻滞作用的食饵捕食者模型简单分析【摘要】种群之间的食饵捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作 用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵 捕食者系统。对其进行平衡点的稳定性分析，验证在自然界中的两种种群构成食 饵捕食者系统的相互关系。关键字】食饵捕食者 自身阻滞作用 平衡点 稳定性一、问题重述对于 Volterra 模型，多数食饵捕食者系统观察不到那种周期动荡，而是趋 于某种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点。在Volterra模型中考虑自身阻滞作 用的 Logistic 项建立具有自身阻滞作用的食饵捕食者模型，并对模型的稳定性 进行分析。二、问题背景和分
2、析 自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰 富的自然资源生长，而种群已靠捕食种群甲为生，食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、 落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。生态学称甲为食饵（Prey），种群已 为捕食者（Predator），二者构成了食饵一捕食者系统。然而在自然界中由于资源 有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞 作用的食饵捕食者系统。三、模型假设 食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存，自身增长符合 Logistic增长，而捕食者在离开食饵没有其他的食饵，在有食饵的情况自身增长亦符合 Logistic 增长。四、符号说明符号意
3、义t时刻x (t)1食饵在t时刻的数量x (t)2捕食者在t时刻的数量r1食饵的相对增长率r2捕食者的相对增长率Ni食饵的自环境最大容纳量N2捕食者的环境最大容纳量C1食饵受捕食者的影响C2捕食者消耗食饵五、模型建立、求解与分析5.1 模型建立当某个自然环境中只有一个种群生存时，可以同 Logistic 模型（阻滞增长）述这个种群的演变过程，即：X 二rx (1_ N)对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为：.xX二 f (x)二 rx (_#),11 1 N在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食，故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减 小，在此情况下食饵的增长为：f( x)
4、=xi(-N Y嘉)2对于捕食者在自然环境中生存没有食饵其死亡导致数量减少，从而为：x2 = g (x) = rx2(-1 - N)，2在有食饵的情况下，食饵降低了捕食者的死亡率是捕食者的增长模型为.x xx = g(x) = rx (-1+ Q 4)22 2 N 2 N。21得到自身具有阻滞作用的食饵捕食者模型：叫二f( x)十(1-n 虫菩)。2xxx2=g (x) = rx2(-1 -寸 + Q 2 才)215.2 模型平衡点求解根据以上模型设f (x)二0和g(x)二0，解其方程组即可得到平衡点。f (x) = x1(1-N -b春)=0 0,q 0时稳定。经计算得到在各个平衡点稳定性
5、如Pi表1表 1 具有自身阻滞作用的食饵捕食者模型的平衡点及稳点性平衡点pq稳定条 件P = (0,0)1-r + r1 2-rr1 2不稳定P = (N ,0)2 1r - r (a -1)1 2 1-rr (a -1)1 2 1a 1212 1 21+a a1 2根据表1，当a 1时，由于食饵能够2N (a +1) N (a 1).为捕食者提供足够的食物，P3 =(-_ )点稳定，二者共存下去,31 + aa 1 + aa1 2 1 2 分别趋向非零的有限值，这也是食饵捕食者保持共存的最大数量。两者不会共 同走向灭绝。5.3.2 相轨线分析设 r = 1.0、r = 1.8、 a = 0.
6、5、a = 1.6、 N = 6.0、N = 4.0 得到 f (x)、1 2 1 2 1 2g(x)的图像(图1)和相轨线(图2)。图1 a2 1的f (x)与g(x)的图像图2 a 1的f (x)与g (x)相轨线2由图1可以看出，当a = 1.6 1是食饵和捕食者会保持相对稳定并且捕食者不会 2趋近 0。设 r 二 1.0、r 二 1.8、 a 二 0.5、a = 0.8、 N 二 1.6、N 二 1.0 得到 f (x)、1 2 1 2 1 2g(x)的图像(图3)和相轨线(图4)。图3a2 1的f (x)与g(x)的图像图4 a 1的f (x)与g (x)相轨线2由图3可以看出，当a
7、 = 0.8 ts=0:0.1:50; x0=25 2; t,x=ode45(shier1,ts,x0); plot(t,x) grid;gtext(x(t);gtext(y(t) plot(x(:,1),x(:,2);gridshier2.mfunction x=shier2(t,x) r1=1;r2=1.8;a=0.5;b=0.8;N1=1.6;N2=1.0;x=r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2); end ts=0:0.1:50; x0=25 2; t,x=ode45(shier2,ts,x0); plot(t,x) grid;gtext(x(t);gtext(y(t) plot(x(:,1),x(:,2);grid
