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1、第6讲锥曲线定值问题(先构造函数，再消去参数)一、考情分析在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关 这类问题统称为定值问题对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函 数思想、转化与化归思想的应用为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定 点和定值问题，以起到抛砖引玉的作用.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程
2、或函数，利用等量关系统一变量，最后 消元得出定值二、经验分享1. 定值问题的常见类型及解题策略(1) 求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2) 求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求 得；(3) 求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2. 【知识拓展】1设点P(m,n)是椭圆C： + y = l(a b 0)上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若 a2 b2kpA + kpB i，则“ 0时直线AB斜率为定值磐(n丰0)，若若丰0，则直线A
3、B过定点2n2b2 mm -, -n 一九a 2九2.设点P(m,n)是双曲线C：-啟=1(a 0,b 0)一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点, a2b2若kPA + kPB ，则“ 0时直线AB斜率为定值一磐(n丰0 )，若若主0，则直线AB过定点2n2b2mm , -n +九a 2九3.设点P(m,n)是抛物线C： y2 = 2px(p 0)定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若k + k二九，则九二0时直线AB斜率为定值-(n丰0)，若九鼻0，则直线AB过定点PA PBn三、题型分析一)与向量与距离有关的等式的定值问题例1在直角坐标系XOy中，曲线Ci的点均在C2 : (X
4、 - 5)2 + y2 - 9外，且对Ci上任意一点M，M到直线X 一-的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.(I) 求曲线C的方程；1(II) 设P (x , y ) ( y h3 )为圆C外一点，过P作圆C的两条切线，分别与曲线C相交于点A，B0 0 2 2 1和C，D.证明：当P在直线x = -4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.x 2y2J3【变式训练1】已知椭圆C: + - = i(a b 0)的离心率为-,A(a，0) ， B(0,b)， O(0,0) ， bOABa2b22的面积为 1(I) 求椭圆C的方程；(II) 设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，
5、直线PB与x轴交于点N.求证：I AN I -1BM I为定值.(二)与距离和比值有关的定值问题例2.设圆x2 + y2 + 2x-15二0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点, 过B作AC的平行线交AD于点E.(I) 证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II) 设点E的轨迹为曲线C，直线l交C于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两 点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【变式训练1】已知点P是直线l: y = x + 2与椭圆+ y2二l(a 1)的一个公共点，F, F分别为该椭圆 a 21 2的左右焦点，设|PFJ +FJ
6、取得最小值时椭圆为C.(1) 求椭圆C的标准方程及离心率；(2) 已知A,B为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A,B的任意一点，直线QA, QB分别 与y轴交于点M(0,m),N(0,n)，试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明 理由(三)与平面图形有关面积的定值问题例3.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】如图，点A(-2,0),B(2,0)分别为椭圆C :+1(a b 0)的左右顶点,P,M,N为椭圆C上非顶点的三点,a 2 b 2直线AP, BP的斜率分别为k , k，且kk -丄，AP /OM, BP /ON.1 2 1 2 4(I)求椭圆
7、C的方程;(II)判断AOMN的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.x2y 2F1，F2是椭圆C6的焦点,【变式训练1】.已知椭圆系方程C :+ n ( a b 0， n $ N *)，n a 2 一ACE是椭圆C6上一点，且AF； F1F2 - 0求C6的方程;P为椭圆C3上任意一点，过P且与椭圆C3相切的直线1与椭圆C6交于M， N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：AQMN的面积为定值，并求出这个定值.【变式训练2】.如图，设点A,B的坐标分别为CJ3,0 ), C/3,0 ),直线AP,BP相交于点P，且它们的斜率之积2为为3 -(1)求点P的轨迹方程;(2
8、)设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A,B的两点，且满 足AP HOM, BP /ON，求证：AMON的面积为定值.(四)与斜率有关的定值问题x 2 y 2J3例4.椭圆C:+= 1(a b 0)的左、右焦点分别是F, F，离心率为，过F且垂直于x轴的直a2 b21 221线被椭圆C截得的线段长为1.(1) 求椭圆C的方程；(II) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF, PF 设ZFPF的角平分线PM交C的长轴于1 2 1 2点M (m,0)，求m的取值范围；(III) 在(II)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线11PF,PF的斜
9、率分别为k ,k，若k丰0，试证明厂+为定值，并求出这个定值.121 2kk kk12【变式训练I】已知抛物线C: y2=2px(p 0)的焦点为F，直线y二4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为。，且 |QF|=2|PQ|.( 1)求 p 的值；(2) 已知点T(t，2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为-3，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.四、迁移应用x 211. 已知曲线C： y=，D为直线y=- 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.22(1) 证明：直线AB过定点：5(2) 若以E(0，亍为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线
10、段AB的中点，求四边形ADBE的面积.2. 已知抛物线 C： x2=-2py 经过点(2， -1).(1 )求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N,直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.3设椭圆一 l(a b 0)的左焦点为F，上顶点为B 已知椭圆的短轴长为4,离心率为三a2 b25(1) 求椭圆的方程；(2) 设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若I ON 1=1 OF I( O为原点)，且OP丄MN，求直线PB的斜率.X
11、 2 y 24. 已知椭圆：1，直线y t与该椭圆交于A， B两点，M为椭圆上异于A， B的点.4 + 2 二 _(1) 若mQ3 耳)，且以AB为直径圆过M点，求该圆的标准方程；(2) 直线MA，MB分别与y轴交于C，D两点，|OC| |OD|是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.5. 已知椭圆E: +若1 (a b 0)的离心率e = ，若椭圆的左、右焦点分别为F，F，椭圆上a2 b2212一动点P和F，F组成PFF的面积最大为3.1 2 1 2(1) 求椭圆的方程；(2) 若存在直线l： y kx+m和椭圆相交于不同的两点A，B，且原点O与A,B连线的斜率之和满足：k + k =2,求直线l的斜率k的取值范围.OA OB6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点为F，A为抛物线上异于原点的任意一点，以AO为直径作圆0，当直线OA的斜率为1时，I OA I 4迈.(1) 求抛物线C的标准方程；(2) 过焦点F作OA的垂线l与圆0的一个交点为M，l交抛物线与P, Q (点M3在P,Q之间)，记AOAM的面积为S，求S2 +于PQI的最小值。
