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1、年 级八年级学 科数学版 本通用版课程标题如何选择参赛选手编稿老师王长远一校付秋花二校黄楠审核郭莹一、方差、标准差的有关概念1. 方差：设在一组数据中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是，那么我们求它们的平均数，即为 留意：方差反映的是这组数据的波动大小，方差越大，数据波动越大，反之，越稳定。如：在方差的计算公式s=（x20）+（x20）+（x20）中，数字10和20分别表示的意义是_。解析：10是对应公式中数据的个数，20是对应公式中的平均数。2. 标准差：方差的算术平方根，我们把它称为这组数据的标准差，即留意：标准差反映的这组数据的波动状况，标准差越大，数据波动越大，反之，越稳定。方法
2、归纳：方差、标准差的理解应留意以下几点：方差标准差反映状况数据的波动状况数据的波动状况单位与原数据的吻合状况不一样一样二、方差、标准差的的求法1. 方差的求法：计算方差的步骤为：“先平均，后求差，平方后，再平均”。如：数据100，99，99，100，102，100的方差=_。解：“先平均” “后求差”（100100），（99100），（99100），（100100），（102100），（100100）“平方后”，“再平均” 故填1。2. 标准差的求法：对方差进行开方运算，取其算术平方根。如：若一组数据的方差为9，则标准差为 。解：9的算术平方根为3，即这组数据的标准差为3故填3。例题1 在一组
3、数据x1，x2，xn中，各数据与它们的平均数的差的肯定值的平均数，即叫做这组数据的“平均差”。“平均差”也能描述一组数据的离散程度。“平均差”越大说明数据的离散程度越大。因为“平均差”的计算要比方差的计算要简单一点，所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度。极差、方差（标准差）、平均差都是反映数据离散程度的量。一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的状况；为防止出现“大鱼吃小鱼”的状况，在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞；分开养殖或出售；他从两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得重量如下：（单位：千克）甲鱼塘：3，5，5，5，
4、7，7，5，5，5，3乙鱼塘：4，4，5，6，6，5，6，6，4，4请分别计算出甲、乙两个鱼塘中抽取的样本的极差、方差、平均差；完成下面的表格：极差方差平均差甲鱼塘乙鱼塘解析：依据极差的公式：极差=最大值最小值，找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值；方差就是各变量值与其平均值的差平方的平均数，依据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算。答案：解：甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=73=4，组数据中最大的值6，最小值4，故极差=64=2；S2乙=（45）2+（45）2+（55）2+（65）2+（65）2+（55）2+（65）2+（65）2+（45）
5、2+（45）210=0.8，极差方差平均差甲鱼塘41.60.8乙鱼塘20.80.8点拨：此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据改变范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。例题2 某社区打算在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参与集训，两人各射了5箭，他们的总成果（单位：环）相同，小宇依据他们的成果绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成果的平均数和方差（见小宇的作业）。甲、乙两人射箭成果统计表：第1次第2次第3次第4次第5次甲成果94746乙成果757a 7（1）a= ，=
6、；（2）请完成图中表示乙成果改变状况的折线；（3）视察图，可看出 的成果比较稳定（填“甲”或“乙”）。参照小宇的计算方法，计算乙成果的方差，并验证你的推断。请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中。解析：（1）依据他们的总成果相同，得出a=307757=4环，进而得出。=305=6环；（2）依据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；（3）视察图，即可得出乙的成果比较稳定；因为两人成果的平均水平（平均数）相同，依据方差得出乙的成果比甲稳定，所以乙将被选中。答案：解：（1）由题意得：甲的总成果是：9+4+7+4+6=30环，则a=307757=4环，=305=6环，故答案为：4环，6环；（2）
7、如图所示：（3）视察图，可看出乙的成果比较稳定，故答案为：乙；因为乙的成果为：7，5，7，4，7，=6环所以（76）2+（56）2+（76）2+（46）2+（76）2=1.6环2由于，所以上述推断正确。因为两人成果的平均水平（平均数）相同，依据方差得出乙的成果比甲的成果稳定，所以乙将被选中。点拨：方差的定义以及折线图和平均数的意义，依据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可。在实际生活中的应用学习方差，我们知道方差是反映一组数据波动大小的特征数，当一组数据的方差较小时，说明这组数据较稳定。但在实际问题中，我们要依据详细问题详细分析，并不肯定选择方差小的。例题 甲、乙两名射击选手各自射击
8、十组，按射击的时间依次把每组射中靶的环数值记录如下表：选手组数12345678910甲98908798999192969896乙85918997969798969898（1）依据上表数据，完成下列分析表：平均数众数中位数方差极差甲94.59616.6512乙94.518.65（2）假如要从甲、乙两名选手中选择一个参与竞赛，应选哪一个？为什么？解析：（1）分别依据众数、中位数和极差的概念填充表格即可；（2）依据方差即可确定选择哪位选手参与竞赛。答案：解：（1）依据众数、中位数和极差的概念填充表格如下所示：平均数众数中位数方差极差甲94.5989616.6512乙94.59896.518.6513
9、（2），甲的成果比较稳定，选择甲选手参与竞赛。点拨：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，所以选择方差较小的，也就是发挥越稳定的选手参赛。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 为了解某射击运动员的射击成果，从一次训练中随机抽取了该运动员的10次射击成果，纪录如下；8，9，8，8，10，9，10，8，9，10。这组数据的极差是（）A. 9 B. 8.9 C. 8 D. 2*2. 某特警部队为了选拔“神枪手”，实行了1000米射击竞赛，最终由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成果都是99.68环，甲的方差是0
10、.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（）A. 甲的成果比乙的成果稳定B. 乙的成果比甲的成果稳定C. 甲、乙两人成果的稳定性相同D. 无法确定谁的成果更稳定*3. 某班期末英语考试的平均成果为75分，方差为225，假如每名学生都多考5分，下列说法正确的是（）A. 平均分不变，方差不变B. 平均分变大，方差不变C. 平均分不变，方差变大D. 平均分变大，方差变大*4. 已知20个数据的平均数为6，且这20个数据的平方和为800，则这组数据的方差等于。（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题5. 数据2，1，0，3，5的方差是_。*6. 已知一组数据5，8，10，x，9的
11、众数是8，那么这组数据的方差是_。*7. 甲、乙两名射击手的50次测试的平均成果都是8环，方差分别是S甲20.4，S乙21.2，则成果比较稳定的是 _甲（填“甲”或“乙”）*8. 一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差是_。三、解答题9. 已知A组数据如下：0，1，2，1，0，1，3（1）求A组数据的平均数；（2）从A组数据中选取5个数据，记这5个数据为B组数据，要求B组数据满意两个条件：它的平均数与A组数据的平均数相等；它的方差比A组数据的方差大。你选取的B组数据是 _1，2，3，1，1，请说明理由。10. 甲，乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下：甲队：178，17
12、7，179，178，177，178，177，179，178，179；乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；（1）将下表填完整：身高176177178179180甲队（人数）340乙队（人数）211（2）甲队队员身高的平均数为 _厘米，乙队队员身高的平均数为 _厘米；（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由。*11. 博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参与“华罗庚金杯”数学竞赛活动。这两位同学最近四次的数学测验成果如下表：（单位：分）第一次其次次第三次第四次甲75708590乙85827578（1）依据表中数据，分别求出甲、乙两名
13、同学这四次数学测验成果的平均分。（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成果的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成果较稳定？请说明理由*12. 小华和小明参与某体育项目训练，近期的8次测试成果（分）如下（1）小华和小明近期的8次测试成果，谁比较稳定？（2）历届竞赛表明，成果达到13分就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参与这项竞赛？假如历届竞赛成果表明，成果达到14分就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参与这项竞赛？*13. 小明同学参与某体育项目训练，将近期的十次测试成果得分状况绘制成如图的扇形统计图，试求出十次成果的平均数和方差1. D 解：这组数据的最大数是10，最小数是8，则这组数据的极差是108=2；故选D。2. B 解：甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，S甲2S乙2，乙的成果比甲的成果稳定；故选B。3. B 解：平均成果为75分，每名学生都多考5分，平均分增加5分，平均分变大，方差不变；故选B。4. D 解：，=4故选：D。5. 解析：这组数据2，1，0，3，5的平均数是（21+0+3+5）5=1，则这组数据的方差是：，故答案为：。6. 2.8 解析：一组数据5，8，10，x，9的众数是8，x是8，这组数据的平均数是（5+8+10+8+9）5=8，这组
