《空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间中线线角、线面角、面面角 成法原理与求法思路空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。1、异面直线所成的角异面直线所成的角的范围是心2。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把 异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位 置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用解三角形来求角。简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是0,却。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下：（若线面平行，线 在面内，线面垂直，则不用此法，因为
2、 角度不用问你也知道） 找过斜线上一点与平面垂直的 直线； 连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定 出所求的角； 把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直 线所成的一切角中的最小角，即若0为线面角，卩为斜 线与平面内任何一条直线所成的角，则有0 ZCAD ）2.1 确定点的射影位置有以下几种方法： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平 面的射影上； 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分 线上；已知：如图，ZBAC在一个平面a 内,PN丄AC,PM丄AB,（就是点P到角两边的距离相等）
3、 过P作PO丄a （说明点O为P点在面a内的射影）求证：ZOAN =ZOAM（ZOAN =ZOAM，所以AO为做的角平分线，所以 点O会在ZBAC的角平分线上）证明:PA=PA, PN=PM,沁PNA次PMA （斜边直角边定理）ZPNA= ZPMA=90 :.AN=AMPO la PN=PM N = MO （斜线长相等推射影长相等）AN=AMAO=AO n AAMO 仝 AANO n ZNAO=ZMAOOM=ON所以，点 P 在面的射影为ZBAC的角平分线上。如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，ZBAC在一个平面内ZPAN =ZPA
4、M（斜线AP与ZBAC的两边AB, AC所成角相等）PO丄a求证：ZOAM = ZOAN（说明点0在角MAC的角平分线上。）证明：在AB上取点M,在AC上取点N,使an=am 作的辅助线点，线）这步是关键，为我们自已所AM=ANAP = APPAN 二 PAM n PN=PM NO二MO （斜线长相等推射影长相等）PO 丄 a、PN=PMAN=AM、AO=AOOM=ONZPAN = ZPAMuAAMO = AANO nZNAO=ZMAO，所以，点 P 在面的射影为ZBAC的角平分线上。 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；（这是两面 垂直的性质）
5、利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在 底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么 顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；A已知：如图，三棱锥P-ABC 中, pA=pB=PC, po丄面人直。求证：O点为“pc的外心（即证OA=OB=OC）（注：外心为三角形的外接 的圆心，也是三边中垂线的交点）b.如果顶点到底面各边 距离相等或侧面与底面所成 的角相等，那么顶点落在底面 上的射影是底面三角形的内 心（或旁心）；已知：如图，PF 丄 AB，PD 丄 BC, PE 丄 ACPF=PD=PEPO丄面ABC 求证：为aabc的内心（注：内心为三角形的内切圆的圆心，也为三角
6、形 的三个内角的角平分线的交点）证明：连结 BO， CO 易证ADBO 二 AFBO n ZDBO=ZFBO所以BO为角DBF的角平分线，即点在角DBF 的角平分线上。同理可证点O为角DCE的角平分线， 所以O为两内角平分线交点，从而为内心。c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；AE 丄 BC, CD 丄 AB已知：如图,PA 丄 BC, PB 丄 CA4）二面角的范围在课本中没有给出,般是指PO丄面ABC求证：（1） pC丄AD （就是三 棱锥中有两组对棱垂直，则可以 推出第三组对夫棱垂直）（所以， 条件中各组对棱垂直，实际是有 多了一组）（2
7、）点O为三角形ABC的垂心（注：垂心为三角形的三高交点，O为垂心，相当于证明AE丄BC，CD丄AB，两高交点即可）3、二面角（,“ ，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角 的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在 两个平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角； 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向 另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即 垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的 角，即为二面角的平面角；边是最常用的方法 空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面, 截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角 的平面
8、角。备注：还有一个投影法求二面角,高考不作要求,所 以此处略去。配套练习：（练习难度不大，所以只给简答，见最后 一页）1、两个对角面都是矩形的平行六面体是正方体B、正四棱柱C、长方体D、直平行六面体2正三柱 ABC-A1B1C 中异面直线AC与Bf】所成的角是A、300B、600C、900D、12003、已知一个正六棱柱的底面边长是2、3，最长的对角线长为8，那么这个正六棱柱的高是A、2 打B、3C、4D、43 4、正四棱锥相邻的侧面所成二面角的平面角是A、锐角B、钝角 C、直角D、以上均有可能 5、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比是1:2，则此棱锥的高（自上而下）被分成
9、两段长度之比为A、1:、还B、1:4 C、1:（ 2+1）D、（迈-1）6、在四棱锥的四个侧面中，可以是直角三角形的个数最多是A、4个B、3个 C、2个 D、1个7、三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC，则顶点P在底面三角形的射影是底面三角形的A、内心B、外心C、重心D、垂心8、四棱柱成为平行六面体的一个充分不必要条件B、底面是平行四D、两个相邻侧面A、底面是矩形边形C、有一个侧面为矩形是矩形9.已知AD是边长为2的正三角形ABC的边上的 高，沿AD将ABC折成直二面角后，点A到 BC的距离为A、3IT2B、戸C、vi4 D、.1422410、已知异面直线a、b所成的角为500，P为空 间一
10、定点，则过点P且与a. b所成角都是300的直线有且仅有A、1条B、2条 C、3 条D、4条11 面角a / 卩是直一面角，a Ga,B邛,A,B电 设直线AB与a,卩所成的角分别为、则12A、9 +9 二900129 +9 90。12C、D、B9 +9 9009 +9 丰 9001 2 1 2、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13 、 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ，AB=3,BC=1,CC1= 3，则平面 ABC 与平面ABCD所成的角的度数14、正三棱锥V-ABC的各棱长均为a , M,N分别是VC,AB的中点，则MN的长为15、有个三角尺ABC，ZA二30
11、0, ZC二900 ,BC贴于桌面上，当三角尺与桌面成 450角时， AB 边与桌面所成角的正弦值是.19、在三棱锥 D-ABC中，DA丄平面ABC ,z ACB=9Oo,zABD=3Oo,AC=BC,求异面直线 AB与CD所成的角的余弦值。（注，题目未配图，请自行画图20、正方体 ABCD-A1B1C1D1 的a , RQR分别为棱 AA1,AB,BC 的中点，试求二面角1P-QR-A的正弦值。分析：求二面角，主要思路就是作，证，求。作二面角的基本方法，主要用三垂线法，明显有，PA 丄 面ABCD，所以只要过点A作AH丄QR垂足为H，则”为所求的平面角要过A作QR的垂线，可以底面ABCD分离出来，从而变成一个平面问题。乳一3、选择题：1D 2B 3.C 4.B 5D 6A 7B8.A 9.C 10.B 11.C二、填空题：13.300 14二a 15. 624三、 解答题：19迈20卫103
