《固体物理答案第3章(20200511192744)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理答案第3章(20200511192744)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移nj为:njaj sin( jtnaqjj)j为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kpT。具体计算每个原子的平方平均位移。1 根据丄 Tosin （2 /jt na.qjT解: （1）j)dt其中T为振动周期,所以2jaAsin2（ jt naqj（2）第j个格波的平均动能Am a2 2cos2 ( t2 n j jn3) 经典的简谐运动有:naqjj)lma2242每个格波的平均动能=平均势能=1-2格波平均能量=4ma2 2N振幅a2吧,所以Nm jj2nj12ajkBTNm2j而每个原子的平方平均位移为:(n
2、j)2j2nj122ajjNmj3.2讨论N个原胞的一维双原子链 时与一维单原子链-对应。相邻原子间距为a）,其2 N个格波的解。当m M解: （1） 一维双原子链:2a q 2a声学波:2m MmM.2 2sin aq当m M时,m2jcosaq) Jin2 凹m光学波:27 1mM(m M)2sin2aq2 Asin20qm 2242 aq 2a 2a2cos2-m 2cosaq)cos2oqm 2(2) 维双原子链在 m M 时的解与一维单原子链的解是 - 对应的。2 4sin2 凹m 23. 5 已知 NaCI 晶体平均每对离子的相互作用能为:u(r)其中马德隆常数a 1-75,n 9
3、，平衡离子间距r。2.82?。(1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率。NaCl 红外吸收频率的测量只值61 进行(2) 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与比较。解：(1)处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏r r。的二次方项。U(r。)U(r。)U(r。1 2U(r。222 0( 4)(1)其中U(r。0为平衡条件。由r0已知可确定0(2)根据 (1)式，离子偏离平衡位置所受的恢复力为:U(r。故恢复力常数为U(r) nr2I对于离子晶体的长光学波,22(m M )(n 1) q(0)mM :m MmMr03将 Na 的原子质量 m 23 1.66 10
4、 24 g.Cl 的原子质量 M 35.5 1.66 1024g ,基本电荷电量 q 4.803 10 10esu 代入上式，得(0) 1.11 1014HZ(2)相对应的电磁波波长为22 3.14 2.998 1086c1417 10 m6 17 m(6)1.11 10 14对应与远红外波，与 NaCI 红外吸收频率测量值在同一数量级。注：如采用国际单位制进行计算，因在(2)式前乘一因子928.99 109 牛顿米/库仑3. 6 求出一维单原子链的频率分布函数解：一维单原子链的色散关系为:24 sin a m 2msin2aq2，其中sin aq2cosaq 2 dq振动模式的数目：dnNa
5、dqNa22N2Naqcos2(q)0Aq23. 8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格,在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温v()12求证：频率分布函数为g(2人 3/2、00证明：由（q）Aq2,(q) 2Aq。dsV4 q2Vq_A2(0)Hq)(2)3 2AqAV_g( ) 4 2)122故频率分布函数为A3/20极限比热正比于 T2解：（i）q空间的状态密度为每个 q 对应一个纵波,每个 q 对应一个横波,所以 d 范围的状态数应包括纵波和横波的状态数:g(dlq j(q)其中由于晶格振动模数有限,2N则晶格振动最咼频率由决定。m0g()d由此得c(0 22 c4 N)i2S Oh)
6、2ek TB比热 cV kB( kpT 0 rg()d (ekBT 1)2kB(kBT)2ekBTkpTD 度。Cv4NkB(丄)2x 3ex .(exx 21d)x2(2)在低温极限TCv4NkB (工)2D片 dX 沁匸) 2 T2与三维情况下的德拜 T3 律相对应。3. 10 设晶体中每个振子的零点震动能解：根据德拜理论，3VTVg()存在m，在g( )d1h，试用德拜模型求晶体的零点振动能。2cq,可得晶格频率分布函数为范围的振动都可用弹性波近似,则根据自由度确定如下:3V2 2C3 02d3N。因此固体总的零点振动能为E。 0m1h2 g8( )d 9Nh m。11 维复式格子 m5
7、 1.67 10 24g ,1.5 10N /m (即1.5 10 dyn/cm),求:(1) 光学波 O , 声学波 min(2) 相应声子能量是多少电子伏特。(3) 在 300 K 时的平均声子数。A max1013Hz1013Hzh 1.055 10 34 JsO 4.41 10 2ev maxO 3.94 10 2ev minO1.97 10 e2vmax(3)在 T 300K 相应的能量:23192KB T 1.381 1023 300/(1.6 10 19) 2.58 10 ev2因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为111.97e 258 12.14 12 cOmax2 3.14 2.988 1082.8 10 m5 28 mo6.70 10 13与max相对应的电磁波在什么波段。此波长处在红外波 段。
