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1、浅谈特殊角的三角形各边的关系以及其面积与各边的关系九号风景工作室只要是授完初中教育的人，大家都知道直角三角形各边的关系可以由勾股定理可得 : 斜边的平方等于两条直角边的平方和，且其面积等于直角边之积的二分之一。这里我要探讨的问题是三角形中已知一个特殊角（如： 30 度角， 45 度角， 60 度角， 120 度角， 135 度角， 150 度角）及其各边，那么情形又如何呢？三角形各边是否也存在着某种特殊关系呢？其面积是否也与三角形各边存在着某种直接或接近的关系呢？下面我们就此问题一起来分析探讨论证（ 30 度角，45 度角，60 度角，120 度角，135 度角，150 度角）的三角形各边之间
2、以及面积与各边之间是否存在着某种具体数量关系。如图所示： 在 ABC中，已知： A=30 0 ，a,b,c 分别为 A，B, C 的对边，那么三角形各边 a,b,c 会有怎样的数量关系呢？此三角形的面积又会与其各边 a,b,c 存在怎样的数量关系呢？分析：假设 B为钝角，则过点 C作 CDAB且交 AB的延长线于点 D，所以： ADC=BDC=90 0 . 在直角三角形 ADC中 ,ADC=90，A=30 0 , 所以： CD=10 , 所以： CD=12AC=12b,AD=32AC =32b. 同时在直角三角形 BDC中, BDC=90 0, 由图可得： BD=AD-AB= 30, 由图可得
3、： BD=AD-AB= 32b-c,由勾股定理可得： BC 2 =BD 2 +DC2 . 即： a 2 = （ 32 =BD 2 +DC2 . 即： a 2 = （ 32b-c ）2 + （ 12b ）2。化简可得： a2 = b 2 - 3 bc+c 2 ，所以： SABC =1212AB CD=c 12b=bc4。如图所示：假设： B 为锐角时 , 是否也能得到同样的结论呢？分析：过点 C 作 CDAB 且交 AB于点 D，所以： ADC=0BDC=900。在直角三角形 ADC中, ADC=900，A=30所以：12CD=AC=12b ，AD=32AC =32b. 同时在直角三角形0BDC
4、 中, BDC=90，由图可得： BD=AB-AD= c-32b. 由勾股定理可得： BC 2 = DC2+BD2 . 即：a 2 =（ 12 = DC2+BD2 . 即：a 2 =（ 12b ） 2 +（c- 32 +（c- 32b）2 。化简可得： a2 = b 2 - 3 bc+c 2 ， 所以： SABC =121AB CD=2c 12b=bc4。由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角为 300 的三角形其各边的关系是： 30 度角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的 3 倍的差 ; 其面积等于 30 度角两邻边之积的四分之一。10要是
5、 A 为 45角的三角形， 它们各边又有怎样的关系呢？其面积与其各边又有怎样的数量关系呢？如图所示：在 ABC中，已知 A=450 ，a,b,c 分别为 A，B, C 的对边，那么三角形各边 a,b,c 会有怎样的数量关系呢？三角形的面积又各边 a,b,c 存在怎样的数量关系呢？分析： 假设 B 为钝角， 则过点 C作 CDAB且交 AB的延长线于点D，所以： ADC=BDC=900 . 在直角三角形 ADC中, ADC=900 ，A=450 , 所以：AD=CD= 22b , 由图可得： BD=AD-AB=22b- c .同时在直角三角形 BDC中, 由勾股定理可得： BC2 =BD 2 +
6、DC2 . 即：a2 =（ 22b-c ）2 +（ 222b）。化简可得： a2 = b2 - 2 bc+c 2 ，所以： SABC =1212AB CD=c 22b=2bc4。如图所示： 假设： B 为锐角时 , 是否也能得到同样的结论呢？0分析： 过点 C作 CDAB且交 AB于点 D，所以： ADC=BDC=90。在0直角三角形 ADC中, ADC=900，A=45，所以：AD=CD=220b ， 同时在直角三角形 BDC中, BDC=90，由图可得： BD=AB-AD=c-22b. 由勾股定理可得： BC 2 = DC2 + BD2 ，即：a 2 =（ 22 = DC2 + BD2 ，
7、即：a 2 =（ 22b ）2 +（c- 22b）2 。化简可得： a2 = b 2 - 2 bc+c 2 ， 所以： SABC =1212AB CD=c 22b=2bc4。0由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角为 45的三角形其各边的关系是： 450 角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的 2 倍的差 ; 其面积等于 450 角两邻边之积的四分之根号二。0同样的方法我们来分析一下 60角的三角形的情况。0如图所示： 在ABC中，已知 A=60，a,b,c 分别为 A，B, C 的对边，那么三角形各边 a,b,c 会有怎样的数量关系呢？三角形
8、的面积又各边 a,b,c 存在怎样的数量关系呢？分析：假设 B为钝角，则过点 C作 CDAB且交 AB的延长线于点 D，2所以： ADC=BDC=900 . 在直角三角形 ADC中, ADC=900 ， A=600 ,1所以： AD=212AC=b,CD=32AC=3212b, 由图可得： BD=AD-AB=b- c . 同时在直角三角形 BDC中, 由勾股定理可得： BC 2 =BD2 +DC2 . 即：a 2 =（ 12 =BD2 +DC2 . 即：a 2 =（ 12b-c ） 2 +（ 32 +（ 32b） 2 。化简可得： a 2 = b 2 - bc+c 2 ，2 。化简可得： a
9、2 = b 2 - bc+c 2 ，所以： SABC =1212AB CD=c 32b=3bc4。如图所示： 假设： B为锐角时 , 是否也能得到同样的结论呢？分析：过点 C作 CDAB且交 AB于点 D，所以： ADC=BDC=900。在直角三角形 ADC中, ADC=900 ，A=600 ，所以： AD =1212AC=b ，CD=32AC=32b,由图可得： BD=AB-AD= c-12b, 同时在直角三角形 BDC中, 由勾股定理可得：BC 2 = DC 2 + BD 2 ，即： a 2 = （ 32 = DC 2 + BD 2 ，即： a 2 = （ 32b）2 +（c- 12b ）
10、2 2 = b 2 -bc+c 2 ，。化简可得： a所以： SABC =1212AB CD=c 32b=3bc4。0由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角为 60的三角形其各边的关系是： 600 角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的差 ; 其面积等于 60 0 角两邻边之积的四分之根号三。可见，特殊角为 30 度角，45 度角， 60 度角的三角形其各边确实存在某种内在的关系，其面积也与特殊角的邻边确实存在着某种内在的关系。要是 A 为 1200 的角， 135 0 的角， 150 0 的角的三角形的情况又将如何呢？ 其实我们可以用同样的方
11、法去分析论证得出与上面相类似的结论：如图所示： 在三角形 ABC中，若A=1200 ，a,b,c 分别为 A，B, C的对边，则有：a2 = b 2 +bc+c 2 ， SABC =3bc4。（即三角形中 120 0 角所0 角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的和 ; 其面积等于 1200 角两邻边之积的四分之根号三）30如图所示：在三角形 ABC 中，若 A=135，a,b,c分别为 A， B, C的对边，则有：a2 = b 2 + 2 bc+c 2 ， SABC =2bc4。（即三角形中 1350 角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的 2 倍的和 ; 其面积等于 1350 角两邻边之积的四分之根号二）0如图所示：在三角形 ABC中，若 A=150 ，a,b,c分别为 A， B, C的对边，则有：a2 = b 2 + 3 bc+c 2 ， SABC =bc40。（即三角形中 150角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的 3 倍的0和; 其面积等于 150角两邻边之积的四分之一）要是你对上面这些结论有疑问的话，你可以用以上的方法去分析论证一下，看看能不能得出与上面相同的结论，有句话说得好，事实胜于雄辩，理论来源实践，有兴趣的话你不烦试试。4
