《直线与抛物线的位置关系专题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与抛物线的位置关系专题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛物线的简单几何性质叶双能一教学目标：1. 掌握抛物线的简单几何性质2. 能够熟练运用性质解题3. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4. 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想. 二教学重难点：重点：抛物线的几何性质 难点：抛物线几何性质的运用.易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.三教学过程（一）复习回顾：（1） 抛物线y二ax2（a丰0）的焦点坐标是;准线方程.（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点M（1,4），则抛物线的标准方程为过点M（2,0）作斜率为1的直线l，交抛物线y2二4x于A，B两点，求I AB I（二
2、）典例分析：例1.已知抛物线y2二4X,直线l过定点P（-2,1），斜率为k. k为何值时，直线l与抛物线y2二4x :只 有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？设计意图（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系（2 ）掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法；（3）培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想.变式1：已知抛物线方程y2二4X，当b为何值时，直线l: y = X + b与抛物线（1）只有一个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b的最大值是多少？ 例2：过点Q（4,1）作抛物线y2二8x的弦AB，恰好被点Q所平分.
3、（1）求AB所在的直线方程；（2）求I AB I的长.变式1斜率为1的直线l经过抛物线y2 =4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.（教材 69 页例 4）方法（一）方程联立 求交点坐标 根据两点间距离公式方法（二）方程联立根据韦达定理求x +x 运用弦长公式12方法（三）（数形结合）方程联立根据韦达定理求x +x 运用焦点弦公式12拓展：标准方程对应的焦点弦公式：(1) 焦点在x轴上:ABI=Ix I+Ix I+p12(2) 焦点在y轴上：IABI=Iy l+ly I+p12由焦半径公式推导而来)变式2：已知抛物线y2二-x与直线y = k(x +1)相交于两点。(1)
4、求证：OA丄OB ；(2) 当AOAB的面积等于时，求k的值(土1)6(1)分解成两个共底的三角形的面积之和 (本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法Jc、变式3：已知抛物线C: y2二2x.1( 2)利用底乘咼的一半公式(1).若直线y = kx + k +1与曲线C只有一个交点，求实数k的取值范围.(2).求过点P(0,1)且与抛物线C只有一个公共点的直线方程.仁-1+羽-1 -43 (性2.过点A(1,1)作抛物线C弦AB，恰好被点A所平分，求AB的直线方程和弦I AB I的长.;(2) x = 0 或 y = 1 或 y = 2 x +1)；(3) y = x ,2j2例3过抛物线y
5、2 = 2px的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2, y2).求证：AB = x1+丁 p =叫e为直线的倾斜角)sm2 0FAFBP 2(1).求证：y1 J 一P2, x1 x2 = T.求证ZA FB = 90。1 1(5).求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.求证：以|AF|(或|BF|)为直径的圆与y轴相切是A1,B1的中点，求证MF = Jab(7) .求证：点 A、O、B1 三点共线.(8) .若 AF = a,|BF| = b，M变式练习：若抛物线的方程为x2二2py ,贝y能得到什么结论?例4 .已知抛物线C : y2 = 4x .(1) 在抛物线
6、C上求一点P,使得点P到直线y = x+3的距离最短.(2) 在抛物线C上求一点P,使得点P到点A(3,0)的距离最近，并求最近的距离.(3) 若点A的坐标为(1,1)，在抛物线C上求一点P使得I PF I +1 PA I最小，并求最小值.(4) 若点A的坐标为(1,4 )，在抛物线C上找一点P使得I PF I +1 PA I最小，并求最小值.(5) 在抛物线C上求一点P,使得点P到点A(0,2 )距离与P到准线的距离之和最小，并求最小的值. (6 )求下列函数的最值.y 1(1) z 二(2)z = x - yx + 2(7)过抛物线C的焦点F,做互相垂直的两条焦点弦AB和CD,求I AB
7、I + I CD I的最小值.变式1：过抛物线y2 = 4ax (a 0)的焦点F,做互相垂直的两条焦点弦AB和CD,求I AB I + I CD I的 最小值.变式2：过定点M(4,0)作直线L,交抛物线y2 = 4x于A、B两点，F是抛物线的焦点，求AAFB的面 积的最小值。变式3：已知抛物线C： y2 = 4x的焦点为F,过点F的直线L与C相交于A、B两点。(1)若|AB = ，求直线L的方程。(2)求|AB |的最小值。例5.已知抛物线y2 = 2px(p 0)的动弦AB恒过定点M(2p,0)，求证：k .k =-1OA OB变式1：若直线L与抛物线y2 = 2px(p 0)交于A、B
8、两点，且OA丄OB，:求证：直线L过定点变式2：如图所示，F是抛物线y2 = 2px(p 0)的焦点，点A(4,2)为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，且I PA I + I PB I的最小值为8.(1) 求抛物线的方程；(2) 若O为坐标原点，问是否存在点M,使过点M的动直线与抛物线交于B,C两点，且 OB.OC = 0，若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.三练习反馈：1. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的坐标为.2. 过抛物线y2 = 8x的焦点作直线交抛物线于A(x ,y ),B(x ,y )两点，如果x + x = 6 ,则1 1 2 2 1 2I AB
9、I =.3.已知抛物线y2二2 px (p 0)的焦点为F，点P (x, y), P(x, y), P (x, y )在抛物线上，且111222333x,x ,x 成等差数列，则有（123)A.I FP I + I FP I=I FP IB. I FP |2 + I FP |2 =| FP |21 2 3123C 2I FP I=I FP I + I FP I2 3 1D. I FP |2 =| FP I.I FP I2314 .一个正三角形的三个顶点，都在抛物线y2二4x上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面 积5. 直线y = x-2与抛物线y2二2x相交于A,B两点，求证：OA丄O
10、B6. 已知直线与抛物线y 2二2 px （p 0）交于A, B两点，OA丄OB,且OD丄AB并交AB于点D,点D 的坐标为（2,1）,求p的值.7. 设直线y = 2x + b与抛物线y2二4x交于A,B两点，已知弦I AB I二3 5，点p为抛物线上一点，S二 30,求点 p 的坐标（16,8）,（9,-6）APAB -8. 过抛物线y2二2px（p 0）焦点F的直线交抛物线于a,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物 线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.9 （05北京）如图，O为坐标原点，过点.P（2,0），且斜率为2彳题图直线l交抛物线y2二2x于 M （x , y ）, N（x , y0两点.11 2 2（1）写出直线l的方程；（2）求xx与y y的值；（3）求证OM丄ON12 1210.已知直线l: y = x + b与抛物线y2二2x相交于两点A、B，求：（1）线段AB的中点M的轨迹方程；b为何值时OA丄OB.11.过抛物线y2二2x的焦点作倾斜角为45。的弦AB，则弦45。的长度是多少？变式1：已知抛物线y2二2x截直线y = x + b所得的弦长为4，求b的值.变式2：已知抛物线y2二2x截直线y = kx +1所得的弦长为4,求k的值.（四）小节.
