《专题2立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题2立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题二立方和(差)公式、和(差)的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(ab)(a-b)，a2-b2；2)完全平方公式(a土b)2，a2土2abb2。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：1) 立方和公式2) 立方差公式3) 三数和平方公式4) 两数和立方公式5) 两数差立方公式(ab)(a2-abb2)，a3+b3；(a-b)(a2+ab+b2)，a3-b3；(a+b+c)2，a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；(a+b)3，a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3，a3-3a2b+3ab2-b3。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过
2、来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1计算：(1)(3+2y)(9-6y+4y2)；2)(5x2y)(25x2+2xy+4y2)3)(2x+1)(4x2+2x+1)。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和(差)公式，然后再计算.解：(1)原式二33+(2y)3=27+8y3；(2) 原式=(5x)3(；y)3，125x3-y3；28(3) 原式二8x3+4x2+2x+4x2+2x+1，8x3+8x2+4x+1。说明：第(1)、(2)两题直接利用公式计算.第(3)题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二
3、个因式中“+2x”改成“-2x”则利用公式计算；若将第二个因式中“+2x”改成“+4x”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x+1)(2x+1)2，(2x+1)3，(2x)3+3(2x)21+3(2x)12+13，8x3+12x2+6x+1。例2计算：(1) (x31)(x6+x3+1)(x9+1)；(2) (x+1)(x1)(x2+x+1)(x2x+1)；(3) (x+2y)2(x2-2xy+4y2)2；分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.解：(1)原式(X9-1)(X9,1)X18-1；(2) 解法一：原式(X,1)(x2-
4、x,1)(x-1)(x2,x,1)(X3,1)(x3-1)X6-1；解法二：原式(X,1)(X-1)(X2,1),X(X2,1)-X(X21)(X2,1)2X2(x2-1)(X4,X2,1)X61；(3) 原式(x,2y)(x2-2xy,4y2)2(x3,8y3)2x6,16x3y3,64y6。说明：第(2)、(3)题往往先用立方和(差)公式计算简捷.相反，如第(2)题的第二种解法就比较麻烦.例3因式分解：(1) x3y3,125；(2) a一27a4；(3) x6-y6。分析：对照立方和(差)公式，正确找出对应的a,b是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。解：(1)原式(xy)3,53(x
5、y,5)(x2y2-5xy,25)；(2)原式a(1-27a3)=a13-(3a)3=a(1-3a)(1,3a,9a2)(3)原式(x3)2-(y3)2(x3,y3)(x3-y3)=(x,y)(x2-xy,y2)(x-y)(x2,xy，y2)。说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例4设x+y5,xy=-1,试求x3,y3的值。分析：对于立方和公式a3+b3-(a+b)(a2-ab+b2)，我们不难把它变成：a3+b3=(a+b)(a+b)2一3ab,即a3+b3=(a+b)3一3ab(a+b),再应用两数和、两数积解题较为方便。解：x3+y3
6、=(x+y)3一3xy(x+y)=53一3x(一1)x5=140。说明：立方和(差)与和(差)的立方之间可以相互转化。例5如果ABC的三边a,b,c满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断ABC的形状。分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。解:因为a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，所以a3一b3+(一a2b+ab2)+(一ac2+bc2)=0，即(a一b)(a2+ab+b2)一ab(a一b)一c2(a一b)=0，(a一b)(a2+b2一c2)=0，所以a=b或a2+b2=c2，因此ABC是等腰三角形或直角
7、三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.练习1.计算(1)(4+a)(16一4a+a2)；2)(2a-1b)(4a2+-ab+1b2)；339(3)(x1)(x2x+1)；(4)x(x2)2，(x22x+4)(x+2)。2.计算：(1)(x+2)(x2)2(x22x+4)(x2+2x+4)；2)(2x3y)3；(5-1b)3；(4)(m一1)3(m2m1)3。3分解因式：(1)(2x1)3x3；(2) 27x3-8y3；1(3) 2x3y3；4(4) m6一64。4化简：aba、ab、bv;a-Jbapab+b5. 若a+b+c，0，求证：a3+a2c+
8、b2cabc+b3，0。6. (1)已知m+n，2，求m3+n36mn的值；(2)已知：xy，1，求x3y33xy的值.7. 已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3,求两个正方体的棱长.8. 已知ab，1，求a3+3ab+b3的值。9. 已知ab，2,ab，48，求a4b4的值。10. 已知实数a,b,c满足abc丰0，abc，1,a2+b2+c2，2,a3+b3+c3，求abc的值。答案：1.(1)64+a3；(2)8a3b3；(3)x31；(4)4x2+4x8。272.(1)x664；125一25b莎-占叽(4)m93m6+3m31。2)8x336x2y54xy227y3；3、(1)(3x+1)(3x2+3x+1)；(2)(3x一2y)(9x2+6xy+4y2)；(3)(2xy)(4x2+2xy+y2)；(4)(m+2)(m一2)(m2一2m+4)(m2+2m+4)。442b5.提示：a3a2cb2c-abcb3，(abc)(a2-abb2)，0。6（1）-8（2）17.两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.8.19.539210.兴化市第一中学张俊）
