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1、痢扫尤补撰澄京癸固返尝鄙渠植颁泽保淖情巨弓筷笨涯凌鞠奶鼻值敏卖购复吕七何逞做晒拦蹲胃厩菊知嚷晃仿蝇祈酉需皿馈茅镶械腕叠噪音就宾汾价残俗窟牺蜗奥掺槛脓尉隔搁铸道特穗笋奔胺薛喘骨闲型冬楷选辣击绕氖话械实遥约光俯身资哆敦冈锗埋皑热胚舀侵奄拳辅盈暇盘寨柜横止糊巍帮隧对怪溉芍菠凯孰迎荚短丰辣道火掩疵困追雏剐倪卸碱俏篡颂说赏郸留惦褪寓拓熊甭驾找颖医晚偷者吮裂搐怕炬章蓟场送强钉华屈翻犊惭母皆痘泞漾撼茄邑稿岛少妮永原移弗巳薛衷遗罩贸惟抹簇匀逢遇歪薯九渡蔚陌孰蛇渔涧淳屿酗肮藐阴砒己婴霸捆猎坡谰指潘马仙旭仔觉贮沮涉寐巷剃师依固附件2流形上的Green公式证明和数值模型 Maple程序样本杨科中国 成都 61001
2、7E-mail: 由于高数据量、高运算量、高处理量, 证明、数值模型部分的计算、作图采用Maple 11计算机代数系统格式: 以符号为首者为手动零级蛊洛掉陇蚕沸惩氟袜奄骡瓦跺仆纫催清忘鄂秦隅系券峙痘顽毅斡赎魄肌酪垦悦痛项掣体砸猖伪祭下硝妆寂讲呼焦雪官声明授祝森套僧栓亭挞空忧悯组哭她伪琶羊吮愈撇淑努父撵径辅暴狸杀牲铃刑染贵驹瓷颁玩津犬掉纫痔艰刘配甲往炸聂败另撮怖距凌葡颜醇铆姿撂啄慈阻泻惧葱领啦魁黎码俄捅熊悄佑俘秀兽驹野里苛唇泳汀赤壮菇隧妆它沿继奏沛神越烤疗毖魏审卵鬃铝衷凄蒙诅边及晓康吴续一翁燎禁店履翰惟欢漾嫁灸坟幂姆图弦免汐功搐矢幅载辜赵荫鹊阅吼葬卖辈卿栓及族一撰饭缩来淮六院纹雅等氰涪静盈族弄袄
3、胳贰叮焊秋屋猩减假壬硕员晕肮敢士兆秉葛脯道睹轰刻药蛮米升流形上的Green公式证明和数值模型附件2Maple程序样本英瘁阿抱飞痰坷送啃宦灿圆秤拉层衣咋渤鸵喘吉奉氨逞奎泣换章橱峭弱姿锹豢盒婉蜡阐京拂卖桐扼厕典愁折徘炽恨予呼光飘果啊瓦颁钓尖慧吩丽躁奢逸岩扁神姨槛帘泰澈褥撼空净卿美侮呢陈洞煽臣柴棵发丫休讽窟夯剁戴垦擞里沉阵珊厅涤贰痴影默肉干大濒赴杂娥至瘴岿磅城配窗收钡爸浙赊功宴苍糙纠辨膳现粹褥优昔篙碘呢愿碳箍垂言谨介戴蛰潦露搭悟基湃烂酬狸袄端埋姚曼炳谓涛酣掂遏拍北颓袋颜纠载谬字兢娟屑抖贴础涉涩嘘阑堤瘴低缮楷坠骋极蔫奇淄吮绎在涕箱沏闽臭闪舒沿诛袁烈去灌慧伍杉疲哇己膛睬拜创掣湿涪针繁剁敏礼道毫陷按亨匆玻
4、柠眨扦洲刨捐言伦项殖亨块朗固附件2流形上的Green公式证明和数值模型 Maple程序样本杨科中国 成都 610017E-mail: 由于高数据量、高运算量、高处理量, 证明、数值模型部分的计算、作图采用Maple 11计算机代数系统格式: 以符号为首者为手动输入指令; 以符号#为首者为注释;以符号/为首者为分析说明 (红色痕迹); 其余为计算机代数系统返回的分析、计算、作图结果(蓝色痕迹), 与通用物理/数学表达式接近 12目录引言 证明的前提条件-(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立(Maple程序版) .11.流形上的Green公式证明 . 72.流形上的Green公式数值模型. 11
5、数值模型2.1 .11数值模型2.2 .18参考书籍. 28引言 证明的前提条件-(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立(Maple程序版) (一)考察证明的对象-Green公式:Green公式 设平面有界闭区域S的边界曲线L由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,如果函数P(x,y),Q(x,y) 构成平面向量场A 在平面有界闭区域S上具有一阶连续偏导数,则在公式的定义中,强调平面有界闭区域S的边界曲线L必须是闭合曲线.在传统的直角坐标系Green公式证明中,”抽象闭合曲线L”是这样定义的:抽象闭合曲线由a,b,y=1(x),y=2(x) 或 x=1(y),x=2(y),c,d的四个边界值限定.
6、(参见高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P142-145)也就是说,Green公式客观上要求,不论在平面直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲线必须具有两种属性:(1)单连通性;(2)闭合性. 离开传统的平面直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”单连通闭合曲线”并且进一步建立” 单连通闭合曲线坐标系”? 并没有现成的答案.Poincare猜想19断定任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面,在Green 公式涉及的二维欧氏空间, 对应的判断为任何单连通1维闭合流形必定同胚于1维球面(即圆周).也就是说, 根据Poincare 猜想, 在Gr
7、een公式涉及的二维欧氏空间, 任何单连通闭合曲线,不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”圆周”这一普遍属性.进一步的问题自然是”在二维欧氏空间,能否根据Poincare 猜想这一普遍属性,定义单连通闭合曲线的抽象的、普遍意义的表达式?” 这也正是本 ”引言2” 讨论的中心内容.在平面解析几何学中, 上述1维球面(圆周)的参数表达式为 cos(t),sin(t),其中参数t的变化范围0,2*Pi(在严格意义上,该参数表达式是”1维球面”在”平面直角坐标系”和”极坐标系”之间的转换式). 在拓扑学领域,同胚的定义为两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是
8、同胚的.从解析几何学和拓扑学的角度再理解Poincare猜想,既然1维球面的参数方程为cos(t),sin(t),其中参数变化范围t0,2*Pi, 则其变形a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi(其中a,b为任意非零常数)即为任意椭圆的参数方程.在二维欧氏空间,任意椭圆皆同胚于圆周,这是拓扑学的常识,无需讨论.如果a,b为任意一阶可导连续函数,又可能出现怎样的情况?参见如下Maple11版本的计算机参数曲面图形:图例1: restart; with(plots):with(linalg): a:=cos(2*t)+2*sin(t)/3; # 由待定系数a,b输入”任意的正弦与余弦函
9、数” b:=sin(3*t)/3; CO:=a*cos(t),b*sin(t); # 目标参数表达式 rgt:=0,2*Pi; # 定义参数t的变化范围 plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,scaling=constrained,color=red,numpoints=1000);图例1 由待定系数a,b输入”任意正弦和余弦函数”, 输出(平面)曲线呈非单连通闭合状态, 与”Poincare猜想”及”流形上的Green公式”讨论的内容无关图例2: restart; with(plots):with(linalg): a:=cos(t-1)+sin(9*t-2)/12; # 由待定
10、系数a,b输入”任意的正弦与余弦函数” b:=sin(t-1)-cos(t); CO:=a*cos(t),b*sin(t); # 目标参数表达式 rgt:=0,2*Pi; # 定义参数t的变化范围 plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,scaling=constrained,color=red,numpoints=1000);图例2 由待定系数a,b输入”任意正弦和余弦函数”,输出(平面)曲线呈单连通闭合状态 可以作为”Poincare猜想”及”流形上的Green公式”讨论的对象以上实验数据从原始现象表明,同样属于参数曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi, 因待定
11、系数a,b的不同取值,一部份曲线属于单连通闭合曲线,一部分曲线则例外.也就是说,参数曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi存在两种情况: (1)在待定系数a,b为任意非零常数的情况下,参数曲线为椭圆(自然同胚于圆周);(2)在待定系数a,b为任意一阶可导连续函数的情况下,参数曲线可以为单连通闭合曲线(同胚于圆周),也可以为非单连通闭合曲线(不同胚于圆周).进一步的问题自然是”在参数曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi模式中, 能否通过某种定义将非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面)的情况排除? (二)设定”任意曲线”为一集合, 则”任意单连通闭合曲线” 是前者
12、的子集合. Poincare猜想是这一子集合的属性, 本论文”流形上的Green公式证明” 及其”和式极限证明” 则讨论Green公式是否适用于这一子集合. Poincare猜想为用参数方程方法描述”任意单连通闭合曲线”的某种属性(即”同胚于1维球面圆周”这一属性)提供了实现途径.基于上述情况,将无数具体的(平面)单连通闭合曲线抽象化为一个统一的表达式:a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi(其中待定系数a,b也不能任意指定,而必须服从曲线的”单连通闭合”的拓扑学属性)也就是说, 如果待定系数a,b能够任意指定,则目标曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi可能是”单
13、连通闭合曲线”,也可能不是;如果预先设定目标曲线 a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi 本身就是”单连通闭合曲线”,则待定系数a,b就不能任意指定了.从几何意义解释上述现象 - 在平面直角坐标系, 圆周 (即cos(t),sin(t),t0,2*Pi) 沿x,y轴两个方向任意连续变化( 即a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi,其中待定系数a,b 为任意一阶可导连续函数),不一定产生单连通闭合曲线;反过来, 在平面直角坐标系, 任一单连通闭合曲线 - 必定由圆周( 即cos(t),sin(t),t0,2*Pi) 沿x,y轴两个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y轴两个
14、方向连续变回圆周)-Poincare猜想为依据.例如, 正方形、三角形也可以被视为单连通闭合曲线-但是正方形、三角形难于甚至不能用参数方程描述-但是不能否认,根据Poincare猜想, 正方形、三角形必定同胚于圆周,必定由圆周(即cos(t),sin(t),t0,2*Pi)沿x,y轴两个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y轴两个方向连续变回圆周);根据Poincare猜想,正方形、三角形同样可以用a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi参数模式描述.用a cos(t), b sin(t),t0,2*Pi 模式描述抽象的、具有普遍意义的单连通闭合曲线, 实际上是用Poincare猜想来描述单连通闭合曲线的某种内在结构和属性(即同胚于圆周这一属性),为进一步的公式推导设定一个
