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1、电子信息工程学院Quency Chen1.相速度与群速度如果只考虑均匀介质中的小幅度的波，可利用描述介质的方程和 麦克斯韦方程得到一常系数方程组，求解可得到解为：exp( jk - r - jw t) (1)的解其中k为波矢量，r为空间位置矢量，s为角频率。式(1)中的s 和k满足：F (k,w) = 0的关系，这个关系只与介质的特性有关，称为色散关系。式(1 )描述的电磁波，s表征波的时间变化，波矢量k描述波的空 间变化。k =兰尢式(3)中入为波长，因此波矢量k=1/入表示单位距离有多少个波，即 波的数量，然后再乘以2n表示单位距离波的总相位，若把空间相位 变化2n相当于一个全波，则k表示
2、单位距离全波的数目，k也被称 为电磁波的相位常数，因为它表示传播方向上波行进单位距离时相位 变化的大小，注意这里相位单位为弧度制。将(1)式变形为：exp jk - (r + Ar) - jw (t + At) (4)右满足 kAr w At 二 0 (5),则式(4)和式一样，这说明在空间距离延长Ar的位置处，若在时间 上也滞后At则信号相位与r处t时刻的相位保持一致。这说明r处的 波相位在A t时间后传播到r+Ar处，因此将式(5)变形可得到V =Ar (6), k At表示波的相速度由角频率和波矢量共同决定。在真空中电磁波的相速 度为 c。折射指数 n 定义为：kc(7)，由于介质中电波
3、相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速， 所以折射指数也可能大于 1，也可能小于 1。如果限制s是实数，若有一解，使得k和n也是实数，贝M弋表无 衰减的波传播。若k和n为纯虚数，则相应的波是消散波。波场强度 随距离指数地减小。如果将介质等效为阻抗负载，则实数负载代表介 质从输入端口全部吸收能量，然后又从输出端口全部放出能量，类似 传输线特性；如果负载为虚数，则弋表负载从输入端口全部吸收能量 后，又从输入端口全部释放出去，因此电波就不能传播，只能到达一 定的深度后就反射出去了，类似界面反射。如果k和n即有实部又有 虚部，则波的传播伴随着衰减(或增长)。如果s和k是实数，且是常数，则上述平面
4、波将充满整个空间。 波的相速度可以远大于光速，这时波的传播既不输送任何能量，也不传送任何信息。实际上对于稳定的单频单色波，根本没有传输的概念，要利用电磁波来传输信息，本质上是传送变化量，而且变化量必须要 有带宽，不可能是单色单频信号。这与“Shannon定律”是一致的，因此要研究信息传递的速度，必须要研究有一定带宽的波包的传递速 度。即群速度。根据傅里叶变换的方法可以将波包看做单色波的叠加，波包的传 播表现为单色波振幅和相位叠加效应的传播，而不是单色波的相位传 播。所以波包的传播速度被定义为等幅面的传播速度，即群速度。这 里先考虑最简单的情况，两个等幅度，相位和频率有一定偏差的双频 信号E(厂
5、 t)= Ae j(k _Ak)r -(- + Ae j(k + Ak)r -( +利用三角公式cos a + cos b = 2cos(a + bT)cos(a 一 bT-sin a + sin b = 2sin(a + bT)cos(a 一 bT-可以将式(8)转换为：E (r,t) = 2A cos(Akr-At )ej(kr 血)(9)如果只考虑包络2A cos(Akr - Aot)等幅度面的传播，设波包包络在A t 时间移动了 Ar距离。注意不是单频波相位移动的距离和时间。Ak(r+Ar)-Ao(t+At)=Akr -AotAkAr = Ao AtV =Ar = Ao (10) g
6、At Ak若介质没有色散效应，则群速度与相速度一致。如真空中电磁波传播速度恒等于，因此c =w Aw k Akw +Aw k + AkAwAk若介质存在色散效应，即W-AW/ + AW，则群速度不等于相速度。k Ak k + Ak这里还要注意一个问题就是式 (9)波包传播时，两个正弦波合成后的相位因子ej(kr wt)的传播并不与波包包络一致，我一开始就是因为这个概念弄错了，所以一直不能正确理解和计算，花了半天时间才想明白这个问题。210-1-2-3-4-510203050607080-60图 1 群速度=相速度(k=l,deltak=O l,w=l,deltaw=O 1)a2a10-1V-2
7、-3-4-51020304050607080-60图 2 群速度小于相速度(k=l,deltak=0.1,w=l,deltaw=0.05)1020304050607080-60图 2 群速度大于相速度(k=l,deltak=0.05,w=l,deltaw=0.1)以上是从最简单的双频正弦波叠加来讨论波包的概念。式(9)中的 包络与后面的相位因子是无关的，后面的相位因子类似调制中的载 波。波包在传递过程中保持不变。也只有这样才能认为波包在稳定传 播。如果考虑有3个单频波，分别为sl,s2和s3，则利用公式可 得到sl2,s23,s31三个子波包。总的波包则等于(sI2 + s23 + s31)，
8、根2据式(10)则可以得到3个群速度VG12, VG23, VG31，若这3个群速 度不相等，则波包包络不能稳定传输(或者产生更高阶的波包)，反 过来若要波包稳定传输则必须VG12二VG23二VG31.即s对k的函数必须 是单调的(或者在3，k附近单调)。则将式(10)进一步基本化为式(11)V 4 _Ae=v 加伙)(11) g AtAkgdk其中=e(k)由色散关系决定。将式(11)可变为:竺=V =竺=人一(型)At = 0 (12) Atg dkdkAk - Ar Aw - At 二 0 (13)如果从0位置0时刻开始则Ak - r - Aw -1 = 0 (14) 若考虑多个单频波叠加可表示为：E (r, t) = A (k l)ejk 1 -rW(k 1) -t + A (k 2)ejk 2 -rW(k 2) -t +. 若考虑到实际上波包是由无数个单频信号组成，可以写成积分形式 为：E (r,t)可A (k )ej (kr -w 伙)t)dk (式15中E(r, t)中的r和t表示波包的r和t。
