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1、2010年上海市重点中学重要考题精选及精解（1）1、（14分）已知集合，若，求实数的取值范围。解：，若，则，得2、（16分）已知关于的不等式，其中。试求不等式的解集；对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。解：（1）当时，；当且时，；当时，；（不单独分析时的情况不扣分）当时，。（10分）（2） 由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集。（12分）因为，当且仅当时取等号，所以当时，集合的元素个数最少。（14分）此时，故集合。（16分）3、
2、（18分）对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。 对任意的，总有； 当时，总有成立。已知函数与是定义在上的函数。（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。解：（1） 当时，总有，满足， 1分当时，满足 4分（2）若时，不满足，所以不是函数；5分若时，在上是增函数，则，满足 6分由 ，得，即， 分因为 所以 与不同时等于1 9分当时， ，11分 综合上述：12分（3）根据（）知：a=1，方程为， 由得 4分令，则 6分由图形可知：当时，有一解；当时，方程无解。 18分4（本题12分）已知方程的两根为，若，求实
3、数的值。解：当 当 综上所述，（另解：由韦达定理也可）5（本题14分）设函数的定义域为，若命题与命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。解：设由题意得：当，则有；当，则有；若真假，则； 若假真，则；故：6（本题16分）（第（1）小题7分，第（2）小题9分）已知函数其中（1） 证明函数f(x)的图像在y轴的一侧；（2） 求函数与的图像的公共点的坐标。解：(1)因为函数的定义域解不等式的解集，当时，不等式等价于；当时，不等式等价于。所以函数的定义域是或，所以图像总在y轴的一侧；（2）由得，即，所以，消去y，得，解得，解得函数与的图像的公共点的坐标是。7. (本题18分) （第（1）小题6分，第
4、（2）小题6分，第（3）小题6分）已知当点在的图像上运动时，点函数的图像上运动。（1）求的表达式；（1） 若集合关于的方程有实根，求集合A；（3）设函数的定义域为值域为，求实数的值。解：（1）据题设，得且 得 （0）（，）（2）据题设，得：方程有实根 即： （）有实根 （3）据题设，有 （）和分别是上的减函数在上是减函数 区间上的值域为 8. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题.阅读题目：对于任意实数，证明不等式.证明：构造函数.注意到，所以，即.（其中等号成立当且仅当，即.）问题：（1）请用这个
5、不等式证明：对任意正实数，不等式成立.（2）用（1）中的不等式求函数的最小值，并指出此时的值.（3）根据阅读题目的证明，将不等式进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明.证明（1）因为都是正实数，由已知不等式得，2分所以不等式成立.（其中等号成立当且仅当，即.）4分解（2）因为，所以7分（其中等号成立当且仅当即.所以函数有最小值25，此时.10分解（4）可将不等式推广到元的情形，即对于任意实数，不等式成立.13分证明如下：设.注意到，所以，即.15分其中等号成立当且仅当，即.16分9. （本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分 已知函
6、数. （1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.解 （1）当时，；当时，. 2分 由条件可知 ，即 ，解得 . 6分，. 8分 （2）当时，10分即 .， . 13分， 故的取值范围是. 16分10. （本题满分18分）本题共有4个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第1小题满分5分，第2小题满分5分设函数是定义在上的偶函数.若当时，（1）求在上的解析式.（2）请你作出函数的大致图像.（3）当时，若，求的取值范围.（4）若关于的方程有7个不同实数解，求满足的条件.解（1）当时，. 4分（2）的大致图像如下：. 8分（3）因为，所以，11分解得的取值范围是.13分（4）由（2
7、），对于方程，当时，方程有3个根；当时，方程有4个根，当时，方程有2个根；当时，方程无解.15分所以，要使关于的方程有7个不同实数解，关于的方程有一个在区间的正实数根和一个等于零的根。所以，即.18分11（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题8分）已知函数。 （1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。12（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分，满分16分）解：（1） 当时，设且，由
8、是上的增函数，则2分3分由，知，所以，即5分 （2）当时，在上恒成立，即6分因为，当即时取等号，8分，所以在上的最小值为。则10分 （3）因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且11分若当时，是上的增函数，则，所以方程在上有两不等实根，即在上有两不等实根，所以，即且13分当时，在上递减，则，即，所以14分若当时，是上的减函数，所以，即，所以15分13、（12分）已知关于的不等式： （1）当时，求该不等式的解集； （2）当时，求该不等式的解集. 解：原不等式化为： （1）当a=1时，该不等式的解集为（1，2）；-4分 （2）当a0时，原不等式化为：. 当0a2时，解集为（，1）. -4分14、（
9、14分）设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。解：（1）若，则对于每个正数，的定义域和值域都是故满足条件 - 4分（2）若，则对于正数，的定义域为， 但的值域，故，即不合条件； -4分（3）若，则对正数，定义域 ，的值域为，则 -5分综上所述：的值为0或 -1分15（本题满分12分）已知a、b是两个互不相等的正实数，比较A=与B=的大小。解：a、b是两个互不相等的正实数可得. 4 . 4所以AB 。 . 416（本题满分12分）已知关于的不等式的解集为。 （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围。解：（1）时，不等式为，解之，得. 4 （2）时， .
10、 5 时，不等式为， 解之，得 ，则 ， 满足条件.2综上，得 。.1 17（本题满分16分）函数 求证：的图像关于直线y=x对称； 函数的图像与函数的图像有且只有一个交点，求实数的值； 是否存在圆心在原点的圆与函数的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。解： 解一：由可知函数图像即为反比例函数的图像经向右平移1个单位后再向上平移1个单位得到。则函数图像关于直线y=x对称.4解二：函数的反函数，所以的图像关于直线y=x对称.4 由题意得有且只有一解。时，由判别式等于0可得3时，由图像易得同样满足题意.2所以或.1 解一：由函数图像可得若存在满足题意的圆，则圆
11、与函数的图像必在第一象限相切，即圆过（2，2）点，可得圆半径为，所以存在满足题意的圆，其半径为.4r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 .2解二：由与圆的对称性可得交点必关于直线y=x对称 .2如果有且仅有三个交点，则必有一个交点在直线y=x上，即这个交点就是函数y=与直线y=x的交点 .2求得交点有两个（0，0）、（2，2），其中（0，0）不满足题意，而过（2，2）时圆的半径为。r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 所以存在满足题意的圆，其半径为 .218（本题满分16分）对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。解：（1）由不动点的定义：，.1代入知，又由及知。.2 ，。.1（2）对任意实数，总有两个相异
