《万变不离其宗：高中数学课本典例改编之必修二、三：专题二 点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《万变不离其宗：高中数学课本典例改编之必修二、三：专题二 点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、题之源：课本基础知识1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：(2)异面直线所成的角：定义：设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补3空间直线与平面,平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共
2、点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个4直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la,al,l性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l,l,b,lb5.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a,b,abP,a,b,性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那
3、么它们的交线平行,ab,ab6直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab7.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l8.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,如图,PAO就是斜线AP与平面所成的角线面角的范围：(2)二面角定义：从一条直线出发的两个半
4、平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图的二面角,可记作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如图,过二面角l的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl,AOl,则AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范围设二面角的平面角为,则当时,二面角叫做直二面角二、题之本：思想方法技巧1.空间线面关系的组合判断题,是一类常见的客观题.解这类题,一要准确把握、理解相关概念；二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法；三要借助空间直观.如教室就是一个长方体,建议同学们学立体几何时充分借助这一模型.2.要重视三种数学语言文字语言、符号语言、图形语言的互译,特别要培养准确使用符号语言
5、的能力.在空间图形中,点是最基本的元素,点与线、点与面是元素与集合的关系,直线与平面是集合与集合的关系,防止出现符号“”、“”混用的错误.3.求两条异面直线所成角的步骤是：先作图,再证明,后计算.作图,往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线,或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线,即平移线段法,此法是求异面直线所成角的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问题；证明,即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算,一般在一个三角形中求解,这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决,如果计算出来的角度是钝角,则需要转化为相应的锐角,因为异面直线所成角的范围是.4.证明“线共面”或者“点共
6、面”问题时,运用同一法,可以先由部分直线或者点确定一个平面,再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内.5.证明“点共线”问题时,可以将这些点看做是两个平面的交线上的点,只要证明这些点是两个平面的公共点,根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上,即点共线.6.异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”,也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”,但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”.7.探求常规的异面直线所成角的问题,首先要理清求角的基本步骤为“一作,二证,三求”,通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角,其中空间
7、选点任意但要灵活,如常选择“端点,中点,等分点”,通过三角形的中位线平行于底边,长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题.8.证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理：ab,bcac；(3)线面平行的性质定理：a,a,bab；(4)面面平行的性质定理：,a,bab；(5)线面垂直的性质定理：m,nmn.9.证明直线和平面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a,b,且aba；(3)面面平行性质：,ll；(4)向量法.m,n,mnm；(5)空间平行关系传递性：mn,m,n,mn；(6),l,ll.10.证
8、明面面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)利用判定定理：a,b,abP,a,b；推论：a,b,m,n,abP,mnQ,am,bn(或an,bm)；(3)利用面面平行的传递性：；(4)利用线面垂直的性质：.11.应用面面平行的性质定理时,关键是找(或作)辅助线或平面,对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据,不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质,一定要以某一性质定理为依据,不能主观臆断.12.注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化线线平行线面平行面面平行.应用判定定理时,注意由“低维”到“高维”：“线线平行”“线面平行”“面面平行”；应用性质定理时,注意由“
9、高维”到“低维”：“面面平行”“线面平行”“线线平行”.13.判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义；(2)如果直线ab,ac,则bc；(3)如果直线a面,c,则ac；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零.14.证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a,b,ac,bcc.(2)ab,ab；(3)利用面面平行的性质：,aa；(4)利用面面垂直的性质：,m,a,ama；,mm.15.证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边,勾股定理的逆定理等结论；(2)用定义证明.只需判定两平面所成二面
10、角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面：,.16.平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系),构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.17.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化18.线面角、二面角求法求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)证求(算)三步曲.也可用射影法：设斜线段AB在平面内的射影为AB,AB与所成角为,则cos；设
11、ABC在平面内的射影三角形为ABC,平面ABC与所成角为,则cos.三、题之变：课本典例改编1.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图,直线AA1,BB1,CC1相交于点O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,求证：平面ABC平面A1B1C1.改编 如图,直线AA1、BB1、CC1相交于点O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥,设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,若液体流入下面的三棱锥,则液体高度为_.【答案】1.2.原题（必修2第63页习题2.2B组第四题）如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌
12、进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_,为什么？(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时,是定值.改编 如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面七个命题,真命题的有_.(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4)棱A1D1始
13、终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时,是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.（1） （2） （3）【解析】 经分析可得答案为（1）,（2）,（4）,（5）,（6）,（7）. （6） （7）3.原题（必修2第66页例2）改编 如图41,已知正四棱柱中,底面边长,侧棱的长为4,过点作的的垂线交侧棱于点,交于点（）求证：平面；（）求与平面所成的角的正弦值【解析】（）如图42,以为原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系设,则,又,且且且平面 4.原题（必修2第79页复习参考题A组第十题）如图,已知平面,且是垂足,试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论. 改编 如图,已知平面,且是垂足（）求证：平面；（）若,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论5.原题（必修2第79页复习参考题B组第一题）如图5,边长为2的正方形ABCD中,（1）点是的中点,点是的中点,将分别沿折起,使两点重合于点,求证：
