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1、高考数学最新资料第5讲空间中的垂直关系基础巩固1.设,是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题中正确的是()A.若l,则lB.若l,则lC.若l,则lD.若l,则l答案:B解析:对于选项A,C,可能l,因此A,C均不正确.对于选项D,可能l或l,因此D不正确.故选B.2.一直线和平面所成的角为,则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是()A.B.C.D.答案:B解析:由最小角定理知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为,最大角是当斜线与平面内的一条直线垂直时所成的角,它为.3.(2013课标全国,理4)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且
2、lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l来源:数理化网答案:D解析:因为m,lm,l,所以l.同理可得l.又因为m,n为异面直线,所以与相交,且l平行于它们的交线.故选D.4.(2013山东东营一模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部答案:A解析:由BC1AC,BAAC,得AC平面ABC1,所以平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.5.设X,Y,Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“XZ且YZXY”为真命题的是()X,
3、Y,Z是直线X,Y是直线,Z是平面Z是直线,X,Y是平面X,Y,Z是平面A.B.C.D.答案:C解析:因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以情形可使“XZ且YZXY”为真命题.6.(2013山东,理4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.答案:B解析:如图所示,由棱柱体积为,底面正三角形的边长为,可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为=2.故PAO=,即PA与平面ABC所成的角为.7.如图所示,直线
4、PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是()A.B.C.D.答案:B解析:对于,PA平面ABC,PABC.AB为O的直径,BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC,BCPC;对于,点M为线段PB的中点,OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC;对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故都正确.8.(2013山东青岛阶段测试)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面
5、PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).答案:DMPC(答案不唯一)解析:由题意可知BDPC,当DMPC时,即有PC平面MBD.又PC平面PCD,平面MBD平面PCD.9.(2013安徽蚌埠模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:三棱锥A-D1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1 平面ACD1.来源:来源:其中正确的命题序号是.答案:解析:连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1BC1.BC1平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,三棱锥P-AD1C的体积不变.又,正确.平面A1C1B平
6、面AD1C,A1P平面A1C1B,A1P平面ACD1,正确.由于DB不垂直于BC1,显然不正确;由于DB1D1C,DB1AD1,D1CAD1=D1,DB1平面AD1C,DB1平面PDB1,平面PDB1平面ACD1,正确.10.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.(1)求证:A1E平面ADE;(2)求三棱锥A1-ADE的体积.(1)证明:由勾股定理知:A1E=,AE=,则A1A2=A1E2+AE2,故A1EAE.AD平面AA1B1B,A1E平面AA1B1B,A1EAD.又ADAE=A,A1E平面ADE.(2)解:=1,AD=11=.来
7、源:数理化网11.在直平行六面体AC1中,四边形ABCD是菱形,DAB=60,ACBD=O,AB=AA1.(1)求证:C1O平面AB1D1;(2)求证:平面AB1D1平面ACC1A1.证明:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.在平行四边形AA1C1C中,C1O1AO,C1O1=AO,四边形AOC1O1为平行四边形.从而可知C1OAO1.C1O平面AB1D1,AO1平面AB1D1,C1O平面AB1D1.(2)在直平行六面体AC1中,A1A平面A1B1C1D1,A1AB1D1.四边形A1B1C1D1为菱形,B1D1A1C1.A1C1AA1=A1,A1C1平面ACC1A1,AA1平面AC
8、C1A1,B1D1平面ACC1A1.B1D1平面AB1D1,平面AB1D1平面ACC1A1.12.(2013湖南,理19)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:ACB1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.(1)证明:如图,因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1.又ACBD,所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)解:因为B1C1AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图,连结A1D,因为棱柱ABCD-A1
9、B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1=BAD=90,所以A1B1平面ADD1A1.来源:从而A1B1AD1.又AD=AA1=3,所以四边形ADD1A1是正方形,于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D,于是AD1B1D.由(1)知,ACB1D,所以B1D平面ACD1.故ADB1=90-.在直角梯形ABCD中,因为ACBD,所以BAC=ADB.从而RtABCRtDAB,故,即AB=.连结AB1,易知AB1D是直角三角形,且B1D2=BB+BD2=BB+AB2+AD2=21,即B1D=.在RtAB1D中,cosADB1=,即cos(90-)=.从而sin =.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正
10、弦值为.13.(2013辽宁,理18)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.(1)证明:由AB是圆的直径,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.因为BC平面PBC.所以平面PBC平面PAC.(2)解:过C作CMAP,则CM平面ABC.如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,AC=1,所以BC=.因为PA=1,所以A(0,1,0),
11、B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).设平面BCP的法向量为n1=(x,y,z),则所以不妨令y=1,则n1=(0,1,-1).因为=(0,0,1),=(,-1,0).设平面ABP的法向量为n2=(x,y,z),则所以不妨令x=1,则n2=(1,0),于是cos=.所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.拓展延伸14.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA平面ABCD,BCAD,CD=1,AD=2,BAD=CDA=45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)证明CD平面ABF;(3)求二面角B-EF-A的正切值.(1)解:因为四边形
12、ADEF是正方形,所以FAED,CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD,所以FACD.故EDCD.在RtCDE中,CD=1,ED=2,CE=3,于是cosCED=.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明:过点B作BGCD,交AD于点G,则BGA=CDA=45.由BAD=45,可得BGAB.从而CDAB.又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(3)解:由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.取EF的中点N,连接GN,则GNEF.因为BCAD,所以BCEF.过点N作NMEF,交BC于M,则GNM为二面角B-EF-A的平面角.连接GM,可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知,可得GM=.由NGFA,FAGM,得NGGM.因此,在RtNGM中,tanGNM=.故二面角B-EF-A的正切值为.
