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1、例 1:在梯形 ABCD中, AD/ BC, AB=AD=DC=2qmBC=4cm 在等腰 PQR中，/ QPR=120 , 底边QR=6cm点B、C Q R在同一直线I上，且 C Q两点重合，如果等腰 PQR以 1cm/ 秒的速度沿直线I箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰 PQR重合部分的面积记 为S平方厘米(1 )当t=4时，求S的值(2)当4 t ，求S与t的函数关系式，并求出 S的最大值25. (1) t = 4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是 BDC = - 2 2. 32、32例2:如图，直线与两坐标轴分别相交于 A B点，点M是线段AB上任意一点(A B两点除
2、外)，过 M分别作 MCL 0A于点C, MDL OB于 D.(1) 当点M在AB上运动时，你认为四边形 OCM啲周长是否发生变化并说明理由；(2) 当点M运动到什么位置时，四边形 OCM啲面积有最大值最大值是多少(3) 当四边形OCM为正方形时，将四边形 OCM沿着x轴的正方向移动，设平移的距离 为，正方形OCMDfA AOB重叠部分的面积为 S.试求S与的函数关系式并画出该函数的图解：(1)设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为一x+4 ( 0x0, x+40);贝V: MG=I x+4 I = x+4, Mt3=l x 1= x;C 四边形OCM= 2 (MC+MD = 2 ( x+4+x
3、)= 8当点M在AB上运动时，四边形 OCM啲周长不发生变化，总是等于8;2 2(2) 根据题意得： S四边形OCM= MC- MD=( x+4) x = x +4x = (x-2) +4四边形OCM啲面积是关于点 M的横坐标x (0x4)的二次函数，并且当 x=2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形 OCM啲面积最大且最大面积为 4;1 2 1 2(3) 如图 10 (2),当 0 a 2时，S 4 a2a2 4；2 21 2 1 2如图 10 (3),当 2 a 4时，S -(4 a) - (a 4)；2 2 S与a的函数的图象如下图所示:S24a 2)4)2(2a 4)a例3:已知：
4、如图，直线 y 3x 4 3与x轴相交于点A,与直线y , 3x相交于点P.(1) 求点P的坐标.(2) 请判断 OPA的形状并说明理由.(3) 动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着 O-P-A的路线向点A匀速运动(E不与点O A重合)，过点E分别作EH x轴于F, E吐y轴于B.设运动t秒时，矩形EBOFW OPAt叠部分的面积为 S.求：S与t之间的函数关系式.当t为何值时，S最大，并求解：y 3x 4 3解得:y 2.3点P的坐标为(2 , 2 3)将y 0代入y 3x 4.3O/=4 4 分做PDL OAFD,则 01=2, PD=2 3/POA605分/ tan / POA0
5、32=丄住4+t) X2 2=-I3* 83当0t W 4时,s=22 ,8t =4时，S最大=2；J322(2 . 3)2当0t 4时，如图1在Rt EOF中, vZ EOF60 0匡tJ3i EF=t , 0f= t2 2 S=1 OF- EF-t2 7分2 8当4t8时，如图2设EBW 0片目交于点C易知：CE=P&t 4, AE=8 t AF=4- !t , EF=(8 -1)2 21 1 OF=OA- AF=4 (4 t )= t2 21 S=(CEOF EF2当4t /3 (t 16)2 +8V38833t =16时，S最大 =8V33 3/ 8、32 3当 t = 16 时，S最
6、大 =8333312分例4:已知直角梯形纸片 OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为0(0, 0)，A(10, 0)，B(8，2.3)，C(0, 2 .3)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A ),折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S;(1) 求/ OAB的度数，并求当点 A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2) 当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3) S存在最大值吗若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。解：
7、(1) / A, B两点的坐标分别是 A(10, 0)和B(8 , 2.3),2 U3厉tan OAB3 ,10 8 OAB 60当点A在线段AB上时，OAB 60 , TA=TA , A TA是等边三角形，且 TP TA , TP (10 t)sin 60于(1 t) , a PAP 2aT 1 (10 t),2 2- S S ATP 1A P TP (10 t)2,2 8当A与B重合时，AT=AB= 2 34 ,sin60 当点A在线段AB的延长线，且点 P在线段AB(不与B重合)上时,所以此时6 t 10。x所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,（3）S 存在最大值在对称轴t=10的左边，
8、S的值随着t的增大而减小,当 t=6时，S的值最大是 2,3。纸片重叠部分的图形是四边形 （如图，其中E是TA与CB的交点），当点P与B重合时，AT=2AB=8点T的坐标是（2 ,又由（1）中求得当A与B重合时，T的坐标是（6 ,t 10时，S (10 t)2 ,8例6：如图，已知直线y -x 1交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的S A EB当2 t 6时，由图Oi，重叠部分的面积S S ATP AEB的高是 A Bsin60 ,V3212、3S(10 t)8 (102t 4)2、3(t2 4t28)仝(t2)24.388当t=2时，S的值最大是4、3 ；O当0 t 2 ,即当点A
9、和点P都在线段AB的延长线是（如图O ,其中E是TA与CB 的交点，F是TP与CB的交点），/ EFT FTP ETF，四边形 ETAB是等腰形， EF=ET=AB=4 S EF OC - 4 2,34,32 2综上所述,S的最大值是43，此时t的值是0 t1抛物线与直线另一个交点为.(1) 请直接写出点的坐标;(2) 求抛物线的解析式；(3) 若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止设正 方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变 量的取值范围；(4) 在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面
10、积.y(14 分) (1) C(3,2), D(1,3)；(2)设抛物线为yax2 bx c ,抛物线过(0,1), (3, 2), (1, 3),5c1,ab c 3,解得b9a3b c 2.c6，17石,1. y 5x2 比 16 6当0 t 1时，如图1,(3)当点A运动到点F时，t 1,OFAGFB, tan OFA OF 2二 tan GFBFB J5t, 2GB2图111L5t5 2-S FBG -FBGB . 5t-t;2224当点C运动到x轴上时，t2,当1 t2时，如图2,ABAB、22 12 A F,5t .5, AG.5t.5图22 tan GFB西 GB丄，GB耳2分
11、B HS 梯形 ABHG12（ AG BH）AB1 八 5t . 5.5t、（） 52 2 2（2 分）当点D运动到x轴上时，t 3,当2 t 3时，如图3, AG二 GDf-J5t535v5t5 厂 S AOF11 1 2 1,OA 1 ,2AOFs GDHS GDHS AOF(|D-)2，OAS GDH3. 5、5tS五边形 GA BC H5)(35.5t)222分)1525t 24（解法不同的按踩分点给分）(4) t 3, BB AA 3.5 ,S阴影S矩形bbCcS矩形AAD D2分)AD AA1分)例7:如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上
12、，且点与点重合.(1) 求的面积；(2) 求矩形的边与的长；(3) 若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围.28C1 ）解：由一 x 0,得x4. A点坐标为4,0 .2 3由2x 16 0,得x 8. B点坐标为8,0 .412.（2 分）285,由yx33 解得x C点的坐标为5,6.y2x16.y6.11Sa ABCAB-yc126 36.22（3 分）（4分）(2)解：点D在11上且XDXB8,yD8.33（5分）D点坐标为8,8 .又点 E 在 12 上且 yEyD 8,2xE 16 8. xE 4.（6分）E点坐标为4,8 .（7 分） OE 8 4 4, EF 8.(3)解法一：当0 t 3时，如图1,矩形DEFG与 ABC重叠部分为五边形CHFGR( t 0时，为四边形CHFG ).过C作CM AB于M , 则 Rt RGBs RtCMB.y
