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1、第二部分1、阐述双残差回归的步骤和其中体现的统计思想。双残差回归思想的理解和具体步骤 其中：，假设现在要求的是系数（1）对进行回归，得到回归的残差记为。（2）对进行回归，得到回归的残差记为（3）对回归，得到的参数估计就是的估计值。残差中扣除了中包含的的信息；残差扣除了中包含的的信息。因此双残差（、）回归仅反应了，在扣除了的影响，对的作用情况，同样说明了系数表示的是变量与的偏相关。2、证明在线性回归中增加新的解释变量会使得可决系数增大，即上述定理2方差分解定理可以表述为： 构造R2统计量为方差分解定理的扩展，得到如下的表达式：两边取期望，由迭代期望定理得到：由于回归方程的总离差平方和TSS是不变
2、的，因此，上式说明，在回归式中增加新的变量会使得可决系数增大。3、定义，是中的部分解释变量。证明：，它是一个对称等幂矩阵，利用的性质和双残差回归即可得到第三部分1、关于参数有两个相互独立的无偏估计量,，它们的方差分别为，。问：当，为何值时，线性组合是关于参数的最小方差无偏估计？解：根据已知条件有：，是无偏的，则有：所以：因为、相互独立，所以代入，可得：具有最小方差性，得到：，。2、证明在古典假定下，利用OLS对线性回归方程估计得到的结果，是回归参数的最小方差无偏估计。以下讨论都基于回归式（1）无偏性、若视X为非随机，则直接取无条件期望，有：、若视X为随机，则取条件期望得到：（2）有效性、若视X
3、为非随机，则直接取方差得到：、若视X为随机，则取条件方差得到：此时根据方差分解定理得到无条件方差为：有效性的证明：假设有另一个关于y的无偏估计，C是一个的矩阵，对应于，也是一个的矩阵。是的无偏估计，因此有：必有成立，且令，则有。于是 （展开运算）需要说明的一点是，在计量经济学中，对于估计量的性质，关注的最多的就是无偏性和一致性，而有效性的地位要略为次之。因为计量经济学总是在寻求无偏估计的基础上不断的放宽假设条件，然后在新的条件下，在保证无偏性或是一致性的前途下改进估计量的有效性。（3）最小均方误差预测这是在不知道估计量是否无偏的情况下，根据均方误差最小原则进行的求解，得到一个最优估计的过程。其
4、本质上就是最小二乘的估计原理。可以证明在该原则下求出的参数估计量表达式就是OLS表达式。需要注意的是，有效性的证明是在无偏性的前提下进行的。也就是说，有效性比较的是两个无偏估计量的方差大小，如果是有偏的估计量，那么就需要在偏离程度和方差大小两者之间做出权衡。，这最就是小均方误差原则体现的思想。（4）方差的无偏估计是对随机扰动项的方差进行的估计。要求估计量必须是无偏的。实际上就是对自由度进行了调整。在证明中需要用到有关矩阵的迹（trace）的性质，列举如下：迹就是矩阵主对角线的元素之和，矩阵A的迹用符号来表示。一个标量（数）的迹就是它本身。证明：上式两边同取X的条件期望，得到：由于是一个标量，因
5、此它的迹等于它本身，方程两边同取迹，并交换和期望算子的位置，得到： M是关于X的矩阵，因此由条件期望的性质可以提出，进一步得到：因此，有：所以的无偏估计是3、对于自变量X是随机或非随机的争论，你有什么看法，在X随机和非随机这两个不同的假设条件下，参数的估计值和估计的方差有什么不同？阐述其中体现的思想。一个一般性的回归式为：其中 是一个维的向量，的函数形式可以是线性的，也可以是非线性的。在初等计量的课程中，我们通常把X看作是非随机的变量，也就是说，向量X在回归中是被作为常数处理的，不具备随机变量的性质。扰动项是唯一的随机变量，由于的存在，使得Y成为一个随机数。所有的分析都是在以上的假定下展开的，
6、初看来，这样的假定使得对问题的分析变得相对简单化；但是，仔细推敲，就可以发现这样的设定是不科学的，无论是解释变量X还是被解释变量Y都没有可能是一个非随机的常量，这样的假定与随机抽样的假定是相违背的。一个简单的例子是，在截面数据中，在随机抽样的前提下，每个样本是按照一定的随机原则被抽中的，当这个样本被抽中时，用来描述样本特质（或者说是样本的某个属性）的X和Y也就被选定了。也就是说，属性X和Y也是从其自身的分布总体中抽出的样本，其本身也是一个随机变量。在时间序列数据中，由于时间序列只是样本的一次实现，没有实施随机抽样的可能，因此很容易被认为是非随机的。但是，由于隐藏在时间序列数据背后的数据生成过程
7、（DGP）是未知的，所有的时间序列数据都是这个未知总体的一个样本实现，因此，时间序列数据也必定是一个随机序列，而不是一个确定的常量。对于X是否随机问题争论不影响OLS估计的性质，其原因在于我们总是在条件期望的背景下讨论问题，而在X给定的情况下，X就可以被认为是非随机的。第四部分1、说明依概率收敛和依分布收敛的区别和联系，阐述LindebergLevy中心极限定理和LindebergFeller中心极限定理假设条件的不同及其应用。答案：依概率收敛强于依分布收敛，大数定律一般是依概率收敛，而中心极限定理一般是依分布收敛。LindebergLevy中心极限定理中假定方差Q是一个半正定矩阵，而Lind
8、ebergFeller中心极限定理中则假设Q是一个有限正定的矩阵。LindbergFeller中心极限定理的应用，主要指的是异方差时候的情形（非同分布）。该定理的条件总是假定被满足的，因为在实际的问题中通常不能认为各个不同的指标有相同方差（或者分布）。因此，该定理保证了在更弱的条件下，中心极限定理仍然成立。也就是说，在定理满足的条件下样本均值趋于一个正态分布。2、假定在线性回归模型中，有，但是。问此时是否成立？若不成立，对最小二乘估计的适用性会有什么样的影响？ 证明：因为在中，已知等式左边，如果=，要是等式仍然成立，则必有=0，即）=0，这显然与已知条件相矛盾。所以=是不成立的，证毕。3、假设
9、和有有限的二阶矩，有如下的回归方程：，（1）在是随机变量的条件下求的方差（2）定义总体拟合优度为。证明是的一致估计。解答:（1）其中，所以，（2）所以，第六部分1、简要阐述NeweyWest估计和White 估计的思想NeweyWest不要求掌握。White 估计的思想：在假设存在异方差，但不存在自相关的情况下，White给出的方差协方差矩阵的一致估计，也就是著名的White异方差一致估计。White异方差一致估计实际上回避了直接估计矩阵W的问题，而是把的部分作为一个整体，利用样本进行估计。显然，对的一个自然的样本估计是：于是，得到2、由最小二乘回归得到如下回归结果：se=（0.3）（0.18
10、）（1.04）检验残差序列是否存在自相关。0 dl du 2 4-du 4-dl 4 正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 负自相关 查临界值表得出结论3、在广义回归模型中，假设已知，则写出：（1）OLS估计量和GLS估计量的协方差矩阵；（2）OLS 估计的残差的协方差矩阵；（3）GLS估计的残差的协方差矩阵。OLS估计量的方差协方差矩阵：其中，(1/n)XWX = (1/n)SiSj wij xi xjGLS估计量的方差协方差矩阵：其中 OLS残差的方差协方差矩阵 GLS残差的方差协方差矩阵4、阐述异方差检验的White一般性检验和GoldfeldQuandt检验的思想和具体操作。Whit
11、e的检验的思想直接来源于其异方差一致估计。当存在异方差时，传统的方差估计式不再是估计量方差的一致估计，而应该使用White一致性估计：。通过检验是不是参数估计方差的一致估计，可以检验是否存在异方差。在实际的应用过程中，可以通过回归的步骤来简单的实现上述思想。具体的操作是将OLS估计的残差平方对所有的解释变量以及解释变量的平方和交叉乘积进行辅助回归。然后计算统计量，该统计量渐进服从自由度为P1的卡方分布，其中P是辅助回归中解释变量的个数（包括常数项）原假设：不存在异方差 备择假设：存在异方差大于临界值时拒绝原假设。GoldfeldQuandt异方差检验又称为样本分段法，该检验的基本思想是将样本分
12、为两个部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的残差平方和是否有明显的差异，以此判断是否存在异方差。GoldfeldQuandt检验有两个前提条件，一是该检验只应用于大样本，二是除了同方差假定不成立以外，要求其他假设都成立。其具体的实施步骤为：A、将观测值按照解释变量x的大小顺序排列B、将排在中间部分的c个（约1/4）观测值删去，再将剩余的观测值分成两个部分，每个部分的个数分别为n1、n2。 C、分别对上述两个部分的观测值进行回归，得到两个部分的回归残差平方和。D、构造F统计量原假设：不存在异方差 备择假设：存在异方差大于临界值时拒绝原假设。第七部分1、阐述引起内生性的原因及其对参
13、数估计的影响。（1）模型设定误差（遗漏变量）（2）测量误差( 3) 双向交互影响（或者同时受其他变量的影响）2、在两阶段最小二乘中，如果在第一阶段的回归中没有包括原方程中所有的外生变量，会引起参数估计的什么问题，请举例说明。如果在第一阶段的回归中没有包括方程中原有的外生变量，那么，一致性就不能得到保证。假设有如下回归方程其中是的外生变量，是内生变量。并且有维的工具变量。如果只是将对进行投影，得到如下结果：带入原式得到令，由OLS得到参数估计结果如下所示：因为回归中没有扣除的影响，所以一般来说，从而造成参数估计的有偏。3、证明在第一阶段回归中将内生变量对所有外生变量进行投影后，利用简单工具变量得
14、到的参数估计值具有有效性。2SLS在第一阶段进行回归得到的结果如下：假设有另外一个关于的无偏投影：，其相应得到的的两阶段估计为。有如下两个结论成立：要证明的方差最小，只有证明是一个正定的矩阵，也就是证明：是正定矩阵。我们有，因此有：进而有：其中，是对回归的残差。显然，。问题得证。第八部分阐述极大似然法的估计思想，并将它与最小二乘估计进行比较。从总体中经过N次随机抽取得到样本容量为N的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现，各样本的抽取是独立的，因此容易得到样本的联合密度函数。若只知道总体服从某种分布，但不知道其分布的参数，在可供选择的总体中，我们选择使得产生N个样本的联合概率最大的总体。样本观测值联合概率函数就称为似然函数。设总体的概率密度函数为，其类型是已知的，但含有未知参数，观测值的联合密度函数为：。它就称为样本的似然函数，包含有未知参数。极大似然估计的原理就是寻找参数估计量，使得似然函数达到最大，就称为极大似然估计量。通过取对数以及一阶条件可以求得该参数估计值。可以证明对于多元线性回归模型，在古典假设成立的条件下，极大似然估计得到的参数与最小二乘估计得到的参数是一样的。如果残差项满足古典假定，则极大似然估计与普通最小二乘估计得到的参数是相同的。OLS是极大似然估计的特例。第九部分
