《高考数学理全国通用大一轮复习高考试题汇编 第十章 圆锥曲线 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理全国通用大一轮复习高考试题汇编 第十章 圆锥曲线 Word版含解析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章 圆锥曲线第一节 椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆的离心率是（ ）.A. B. C. D. 4.解析 由椭圆方程可得，所以，所以，.故选B5.（2017江苏17（1）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；5.解析 （1）设椭圆的半焦距为，由题意，解得，因此，所以椭圆的标准方程为6.（2017山东理21（1）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的方程；6.解析 （1）由题意知 ，所以 ，因此椭圆的方程为.7.（2107全国
2、1卷理科20（1）已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；7. 解析 （1）根据椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点.将代入椭圆方程得，解得，所以椭圆的方程为题型114 椭圆离心率的值及取值范围8.（2107全国3卷理科10）已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）.ABCD8解析 因为以为直径的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，又因为，则上式可化简为.因为，可得，即，所以.故选A.题型115 椭圆焦点三角形暂无第二节 双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9.（2017北京理9）若双曲线的离心率为，则实
3、数_.9. 解析 由题知，则.10.（2017天津理5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）.A. B. C. D.10.解析 由题意得，所以.又因为，所以，则双曲线方程为.故选B.11.（2017全国3卷理科5）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）.ABCD11解析 因为双曲线的一条渐近线方程为，则 又因为椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则 由,，解得，则双曲线的方程为.故选B.题型117 双曲线的渐近线12.（2017江苏08）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是
4、，则四边形的面积是 12.解析 双曲线的渐近线方程为，而右准线为，所以，从而故填13（2017山东理14）.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .13. 解析 设，由题意得.又，所以，从而双曲线的渐近线方程为.题型118 双曲线离心率的值及取值范围14.（2107全国2卷理科9）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）.A2 B C D14解析 取渐近线，化成一般式，圆心到直线的距离为，得，故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率
5、为_.15. 解析 如图所示，.因为，所以，从而.又因为，所以，解得，则.题型119 双曲线的焦点三角形第三节 抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16.（2017北京理18（1）已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，其中为原点.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；16.解析 （1）由抛物线过点，得.所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.17.（2107全国2卷理科16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 17解析 由，得，焦点为，准线.如图所示，由为的中点，故易知线段为梯形的中位线.
6、因为，所以.又由抛物线的定义知，且，所以.题型121 与抛物线有关的距离和最值问题暂无18.（2017全国1卷理科10）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为（ ）.A B C D18. 解析 解法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，直线，直线.联立，消去整理得，所以，同理，从而，当且仅当时等号成立.故选A.解法二：设的倾斜角为，抛物线的准焦距为作垂直准线于点，垂直轴于点，如图所示.易知，所以，即，同理，所以.又与垂直，即的倾斜角为，.而，即，所以，当时取等号，即的最小值为.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题暂无第四
7、节 曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. （2017全国2卷理科20（1）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；19解析 （1）设点，易知，又，所以点.又在椭圆上，所以，即第五节 直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20.（2017江苏17）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标20解析 （1）设椭圆的半焦距为，由题意，解得，因此，所以椭圆的标准方程为（2）由（1）
8、知，设，因为点为第一象限的点，故当时，与相交于，与题设不符当时，直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程为 直线的方程为 联立，解得，所以因为点在椭圆上，由对称性得，即或又点在椭圆上，故由，解得；由，无解因此点的坐标为21.（2017北京理18）已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，其中为原点.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点.21.解析 （1）由抛物线过点，得.所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.（2）解法一：由题意，设直线的方程为，与抛物线的交点为，.
9、由，得.则，.因为点的坐标为，所以直线的方程为，点的坐标为.因为直线的方程为，所以点的坐标为.因为，所以.故为线段的中点.解法二：要证为的中点，且相同，只需证，等式两边同时除以，则有.因为.又，所以等式成立，即为的中点.题型125 弦长与面积问题22.（2107天津理19）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.22.解析 (1)依题意设点，由题意知，且.由对称性知抛物线的准线方程为，则，解得，于是.从而椭圆的方程为，
10、抛物线的方程为.(2)由于准线的方程为，依题意设()，则.因为，则，得直线的方程为 将式代入中化简得.设点，由韦达定理得，则，即，则，于是得直线方程为.令，解得，即.则，于是，化简得，即得.代入式化简得直线方程为，或.23.（2017山东理21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为，.求的最大值，并求取得最大值时，直线的斜率.23.解析 （1）由题意知 ，所以 ，因此椭圆的方程为.（2）设点，联立方程消去整理得，由题意知，且，所以，由题意可
11、知圆的半径.由题设知，所以，因此直线的方程为.联立方程，解得，因此 .由题意可知 ，而.令，则，因此 ，当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此，所以的最大值为.综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24（2107全国3卷理科20）已知抛物线，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆（1）求证：坐标原点在圆上；（2）设圆过点，求直线与圆的方程24解析 （1）显然当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设，联立，得，恒大于，所以，即点在圆上（2）若圆过点，则，即，即，即，化简得，解得或.当时，设圆心为，则，半径，则
12、圆.当时，设圆心为，半径，则圆.题型128 定点问题暂无25. （2017全国2卷理科20）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.求证：过点且垂直于的直线过的左焦点. 25解析 （1）设点，易知，又，所以点.又在椭圆上，所以，即（2）由题知，设，则，由，得.又由（1）知，所以，从而，即.又过点存在唯一直线的垂直于，所以过点且垂直于的直线过曲线的左焦点.26.（2107全国1卷理科20）已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点.若直线与直线的斜率的和为，求证：过定点.26. 解析 （
13、1）根据椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点.将代入椭圆方程得，解得，所以椭圆的方程为（2）当斜率不存在时，设，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设，联立，消去整理得，则，又，此时，存在使得成立所以直线的方程为.当时，所以过定点题型129 定值问题题型130 最值问题暂无27. （2107浙江21）如图所示，已知抛物线.点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.27.解析 （1）设直线的斜率为，已知，则.因为，所以，所以直线斜率的取值范围是.（2）因为直线，且，所以直线的方程为，联立直线与的方程，解得点的横坐标是.因为，所以，令，因为，当时，当时，所以在上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值.
