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2柯西施瓦茨不等式的证明2.1 柯西施瓦茨不等式定理（柯西-施瓦茨不等式）若与，叼/，%不同，日闻是任意实数,当且仅当存在一个实数/使得廉=皿化=L2,）时，等号成立口2.2 用数学归纳法证明柯西施瓦茨不等式当n=1时,左式=（%）2 =用;|右式=a弼显然左式二右式当冗=2时，左式=（%/ + a也）* = a弼+ 2fl1bl的g+a弼 （G +4阳+与）=ajb + Q那+虏=右式|故有（q/i+口也y （。；+匕办即仿叫/仿冏臣）Il 11 k i H i I当且仅当小时等号成立，故n=1,2时不等式成立。艇时悻底q假设当n=i时，不等式成立，即 归 / hl 1g / 当且仅当。/=叼外（0=1，2,，。时成立。那么当n=i+1时，唇）唇卜唇叫辱也/，+1 、 =所以综上所述，不等式成立。2.3用向量法证明柯西一施瓦茨不等式设片=（町%,%）方=（%-也）是两个嘴向量,因为向二4=a - 5 =同向cos 6 E向向所以2.4运用基本不等式证明柯西-施瓦茨不等式基本不等式：。“工;俨+/)-U旺柯西一施瓦茨不等式变为片炉 1两边开平方再移向得a2 % a2 A当且便当万=万川左=0时等号成立;上述n式相加得综上所:正得不等式% 品外 A当且仅当彳=才即瓦=后时等号成立:四十S?十十S 由上式证得1
