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1、1.2 充分条件与必要条件 平塘民族中学高二年级 周金顺 (2013年9 月28 日 星期六) 【学习要求】1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断某些条件之间的关系.1.理解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 知识要点： 充分条件与必要条件命题 真假“若P,则q”是真命题若P,则q”是假命题推出 关系p今qpq条件 关系P是q的条件q是P的 条件P不是q的条件 q不是P的条件1如果既有，又有，就记作pq,p是q的充分必要条件，简称_条件.2概括地说，如果_，那么p与q互为充要条件.新课引入：一：充分条件、必要条件问题 1 判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)
2、中条件和结论之间的关系：若 xa2 + b2,则 x2ab;(2) 若ab=0,则a = 0.命题中，有 xa2 + b2，必有 x2ab 即 xa2 + b2nx2ab，所以 “xa2 + b2” 是 “x2ab”的充分条件，“x2ab”是“xa2 + b2的必要条件.结论 一般地，若P，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q这时，我们就 说，由P可推出q，记作Pq，并且说P是q的充分条件，q是P的必要条件.问题2结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解.答案 充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论.或要使此 结论成立，只要具备此条件就足够
3、了.必要条件可从命题等价性理解：Pq等价于綈q綈P，q是P的必要条件意味着若q不 成立，则 P 不成立，即 q 是 P 成立的必不可少的条件.问题3判断命题“若x= 1,则X2-4x+3 = 0w中条件和结论的关系，并请你从集合的 角度来解释.答案 “X二1”是“ X2-4X + 3二0”的充分条件，“ X2-4X + 3二0”是“x = 1”的必要条件.两个条件“X=1”和“X2-4x + 3 = 0”都是变量的取值，和集合有关将“X=1”对应集 合记作A，“X2 - 4x + 3二0”对应集合记作B显然A B.问题 4 结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？答案 一般地，
4、关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：(1) 定义法：直接利用定义进行判断.(2) 等价法：“peq”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立 时，就可以去证明q成立这里要注意原命题少逆否命题”、否命题少逆命题只是等 价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法.(3) 利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若pcq，则p 是q的充分条件；若pnq,则p是q的必要条件；若P二q ,则p既是q的充分条件， 又是q的必要条件.例1指出下列各组命题中，P是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既
5、不充分也不必要条件)(1) p：(x-2)(x-3) = 0,q：x=2;P：数a 能被 6整除,q：数a 能被 3整除；(3) p： x1， q： x21；p : x ,y 不全为 0,q： x+y#0.解(1)因为命题“若(x - 2)(x - 3)二0 ,则x二2”是假命题，而命题“若x二2 ,则(X - 2)(x- 3)二0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即是q的必要不充 分条件；(2)tpnq，而qnp ,.p是q的充分不必要条件.P对应的集合为P=x|x1, q对应的集合为Q=x|x1，-P Q,.p 是q的充分不必要条件.綈 p : x = 0 且 y 二 0
6、,綈 q : x + y 二 0 , .綈 pn綈 q ,而綈qn綈p ,pq且pnq，/p是q的必要不充分条件小结本例四个小题分别体现了定义法、集合法、等价法一般地，定义法主要用于较简单 的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题跟踪训练1指出下列命题中，P是q的什么条件？(1) p : X2 = 2x+1, q : x= J2x+1;(2) p : a2 + b2 = O,q：a + b=0；p：x=1 或x = 2, q :x-1 = Jx-1 ；(4) p : sin osin P , q: ap 解 TX2 二 2x + inx 二、j2x + 1,x 二丫 2
7、x + lnx2 二 2x +1,/p是q的必要不充分条件.(2)va2 + b2 二 0na 二 b 二 0na + b 二 0 ,a + b二0 a2 + b2 = 0,P是q的充分不必要条件.(3)v当x=1或x=2成立时，可得x1 = ：X1成立，反过来，当x1二：X1成立 时，可以推出x=1或x=2,P既是q的充分条件也是q的必要条件.由sin asin 0不能推出a0，反过来由a0也不能推出sin asin 0 ,.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.二、充分条件、必要条件与集合的关系问题 设集合A= x|x满足条件p，集合B = x|x满足条件q,若AeB,则p是q的 什么
8、条件？q是p的什么条件？答案 P 是 q 的充分条件， q 是 P 的必要条件.例2是否存在实数p，使“4x+ p0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.解由 X2-x-20,解得 x2 或 x2 或 x -1,p由 4x + p0 ,得 B 二x|x4,p此时x0,4当P24时，“4x+pvo”是x2 - x20”的充分条件.小结(1)设集合A二x|x满足p , B二x|x满足q，则pnq可得AeB ; qnp可得BeA; poq可得A二B,若p是q的充分不必要条件，则A B.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.
9、跟踪训练2 已知p： 3x+m0,若p是q的一个充分不必要条 件，求m的取值范围.mm解 由 3x+m0得，x -亍.P : A二x|x -寸.q : B二x|x3.mpnq 而 qnp ,.A B，- g3,即m的取值范围是3 ,+8).练习：1.a0, b0的一个必要条件为()B.aA. a+ b0aC1baD -1b解析 a + b0na0 , b0 ,而 a0 , b0na + b0”的充分不必要条件，求m的取值范围.解 由 (x 1)(x 2)0 可得 x2 或 x1 ，由已知条件，知x|x2或x1.m2ab，当且仅当a二b时a? + b?二2ab ,此时我们也可 以说“a二b”是“
10、a2 + b2 = 2ab”的充要条件，我们可以从以下三个方面理解充要条件： 若poq，则p、q互为充要条件；p是q的充要条件意味着P成立，则q必成立，p不成立，则q必不成立”“P是q的充要条件”也说成“P等价于q”“q当且仅当P”等.例1下列各题中，哪些P是q的充要条件？(1) p： b = 0, q： 函数f(x) = ax2 + bx+c是偶函数；(2) P： x0， y0， q： xy0；(3) P： ab， q： acbc解 在中，poq，所以(3)中p是q的充要条件.在(2)中，qnp，所以(2)中的p不是q的充要条件.小结 判断P是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使
11、用等价命题法或集 厶M土合法.跟踪训练1a, b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab=0B. ab0C. a2 + b2 = 0D. a2b20解析a2 + b20,则a、b不同时为零；a,b中至少有一个不为零，则a2 + b20.(2)x2的一个必要不充分条件是_x0; x + y0的一个充分不必要条件是_x0且y0(答案不惟一)“函数y二X2 - 2x - a没有零点”的充要条件 .解析 函数没有零点，即方程x2 - 2X - a = 0无实根，所以有二4 + 4a0 ,解得a -1. 反之，若a -1 ,则40 ,方程X2 - 2x - a二0无实根，即函数没有零点.四、充要条件的
12、证明例2已知数列an的前n项和Sn = pn + q(p却且p1),求证数列an为等比数列的充 要条件为q=-1.分析 充分性：由q二-1推出an是等比数列，必要性：由an是等比数列推出q二-1. 证明充分性：当q二-1时3二p -1, 当2 时，an 二 Sn-Sn-1 = Pn-1(p-1),当n二1时也成立.apn p- 1.卩旳 且p/1,于是严 =p二p,anpn-1 p- 1即数列an为等比数列.必要性：当n = 1时,a1 = S1 = p+q.当nn2时3肯$“-$“-广卩“-1（卩-1）.p/0且 p/1也一旦an pn-1P-1p-1an为等比数列，罟二Pna.p P-1p+qp ,.q -1.综上，数列an为等比数列的充要条件为q二-1.小结一般地，证明“P成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条 件”，P是该步中要证明的“结论，即qnp；证明必要性时则是以p为“已知条件”， q为该步中要证明的“结论，即pnq.跟踪训练2求证：方程X2 + (2k-1)x+k2 = 0的两个根均大于1的充要条件是kI)IHXl+:x n (I &TI Ix)=m dx、J 只摩 eEg0 ! + x(I K) + 丈驰代怒 o人寿二 Hz哮二(l-l/zNv、67 上沏：聚m0 人T
