《乘法公式知识讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《乘法公式知识讲解（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、乘法公式(基础)【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】 要点一、平方差公式平方差公式：(a + b)(a - b)二 a2 - b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的
2、平方常见的变 式有以下类型：(1) 位置变化：如(a + b)(-b + a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2) 系数变化：如(3x + 5 y )(3 x 5 y)(3) 指数变化：如(m3 + n2)(m3 -n2)(4) 符号变化：如(a一b)(a一b)(5) 增项变化：如(m + n + p)(m一n + p)(6) 增因式变化：如(a-b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)要点二、完全平方公式完全平方公式： (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的
3、和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：a2 + b2 = (a + b)2 一 2ab = (a 一 b)2 + 2ab(a + b)2 = (a 一 b)2 + 4ab要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式(x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq ； (a 土b)(a2 m ab + b2) = a3 土
4、b3 ；(a 土 b)3 = a3 土 3a2b + 3ab2 土 b3 ； (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc .【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能能用平方差公式计算的，写出计 算结果(1) (2a -3b)(3b -2a)；(2) (-2a + 3b)(2a + 3b)；(3) (-2a -3b)(-2a + 3b)；(4)(2a+3b)(2a-3b)；(5) (-2a - 3b)(2a - 3b)；(6)(2a+3b)(-2a-3b)思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一
5、项互为相反数就可以用平方差公式. 答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算(2) (_2a + 3b)(2a + 3b)=(3b匕(2a匕=9b2 - 4a2.(3) (_2a - 3b)(-2a + 3b) = (-2a)2 (3b)2 = 4a2 - 9b2.(4) (2a + 3b)(2a-3b)= (2a)2 (3b)2 = 4a2 -9b2.(5) (-2a-3b)(2a-3b)=(-3b)2(2a)2=9b2 -4a2.【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项(系数为相反 数的同类项).举一反
6、三：变式】计算：(1)x 3 y ；2 2丿,2)(-2+ x)(-2- x)；3)(-3x-2y)(2y -3x).答案】解：(1)原式=x2 9y 24(2)原式二(2)2 -x2 二 4-x2.(3)原式二-(3x + 2y)(2y - 3x)二(3x + 2y)(3x - 2y)二 9x2 - 4y2.2、计算：(l) X；(2) 102X98.答案与解析】 解：(1) X = (60X (60+= 602 -0.12 =3600 =(2) 102X98= (100+2)(100 2) = 1002 22 =100004=9996.【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有
7、理数乘法的好方法，构造时可 利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式.这样 可顺利地利用平方差公式来计算.举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)899X901+1；(2)99X101X10001；(3) 200522006X2004答案】解：(1)原式=(900 1)(900+1)+1 = 9002 12 +1 =810000.(2)原式=(1001)(100+1)X10001 =(1002 1)x10001=(100001)X(10000+1)=01=.(3)原式=20052(2005+1)(20051)=20052(2005212)=1类型二、完全平方
8、公式的应用3、计算：(1)(3a + b)2 ；(2) (3 + 2a)2 ；(3) (x 2y)2 ；(4) (2x 3y)2.【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方 公式.【答案与解析】解：(1)(3a + b)2 =(3a)2 + 2x3a-b + b2 = 9a2 + 6ab + b2.(2) (-3 + 2a)2 =(2a - 3)2 =(2a)2 - 2 x 2a x 3 + 32 = 4a2 12a + 9 .(3) (x 2y)2 = x2 2 - x - 2y + (2y)2 = x2 4xy + 4y2 .(4) (2x 3 y)2
9、 = (2x + 3 y)2 = (2x)2 + 2 x 2x x 3 y +(3 y)2 = 4x2 +12xy + 9 y 2.【总结升华 (1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时， 结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符 号为负.(2)注意(a b)2 = (a + b)2之间的转化.4、计算：(1)20022；(2)19992.(3)999.92.【答案与解析】解： 20022 =(2000 + 2匕=20002 + 2 x 2000 x 2 + 22= 4000000+8000+4 = 4008004.(2) 1
10、9992 =(2000 -1)2 = 20002 - 2 x 2000 x1 +12=40000004000+1=3996001.(3) 999.92 = (1000 - 0.1匕=10002 - 2 x 1000 x 0.1 + 0.12=1000000200+=.【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方.5、已知a + b = 7 , ab =12 .求下列各式的值：(1) a2 一 ab + b2 ； (2) (a 一 b)2.【答案与解析】解：(1) V a2 一ab + b2 = a2 + b2 ab = (a + b)2 3ab = 72 3X12=13.(2
11、) V (a一b)2 = (a + b)2 4ab = 72 4X12 = 1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：(a + b)2 (a 一b)2 =4ab a2 + b2 = (a + b)2 2ab=(a-b)2+2ab. 解答本题关键是不求出a,b的值，主要利用完全平方公式的整体 变换求代数式的值.举一反三：【变式】已知(a + b)2 = 7 , (a 一b)2 = 4，求a2 + b2和ab的值.【答案】解：由(a + b)2 = 7，得a2 + 2ab + b2 = 7 ；由(a 一 b)2 = 4，得 a2 一 2ab + b2 = 4 .+得 2(a 2 + b 2) = 11，.: a 2 + b 2 =1123一得 4ab = 3，.: ab =4
