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1、解析：延长EB 至点F使BF=EC,案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题）已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且AB=BC,E为弧BC上的 一点，求 AE=BE+CE【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利 用截长补短的解题方法1.一题多解（1）利用截长方法的方法解题解析：在AE上取点F，使得AF=BE,在AAFC和ABEC中AF = BE （作法可得） ZFAC = ZEBC（同弧所对的圆周角相等）AC = B（等边三角形边相等）AAFC 竺 ABEC(SAS)CF=CE一 ZAEC 二 ZABC 二 60。 AECF 是等边三角形 EF=EC一 AE=AF+EF AE=
2、BE+CE(2)利用补短的方法解题在 AABF和AACE 中BF = CE （作法可得）ZABF =ZACE （同角ZABE的补角相等）AB = AC（等边三角形边相等）A ABF 竺 AACE (SAS)ZBAF=ZCAE AE=AF 一 ZCAE+ZEAB=60。 . ZBAF+ZEAB=60。. AAFE 是等边三角形. AE=EF=BE+BF即 AE=BE+CE3）利用旋转的方法解题解析：将AACE顺时针旋转60。，则AABF竺AACEAAEF是等边三角形，/ACE = ZABF-ZACE+ZABE=180。（圆内接四边形对角互补）. /ABF+/ABE=180。即点F、B、E三点共线
3、. AE=EB+BF即： AE=EB+EC（4）利用平行的方法解题解析：过点C作AE的平行线CF交圆于点F，连接AF.CF/AE/ FCE+/CEA = 180。/BFC = CEA = 60。/ FCE+/CFB=180o CE/FG即四边形CEGF是平行四边形:,A BEG和AAFG是等边三角形 BE=EG,CF=GF=AG BF+CF=GE+AG=AE（5）利用托勒密定理解题解析：利用托勒密定理可得EBE - AC+EC - AB=AE - BC-AABC是等边三角形AB=AC=BCBE+EC=AE新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”在数学教学中离不开 习题讲解，通
4、过一题多解使学生加深知识的理解与内化，培养学生思维的灵活性、创新性 提高学生解决实际问题的能力一题多变变式1：在学习了圆的基本性质后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且AB=BC,E为圆上不同于A、EB、C的任意一点，求AE=BE+CE .【分析】本题关键是E点位置的不确定性，故在解决此题时必须进行点E位置的讨论， 用到分类讨论的思想变式2 :已知如图，AABC是等边三角形，ZAEB=60，求AE=BE+CE分析】把圆的条件去掉后，还是可以用截长补短的方法解决变式3 :已知如图，AABC是等边三角形，ZAEB=60 , a,B,E,C四点共圆吗？【分析】以AABC的
5、外心为圆心，OA为半径画圆，可以证明点E在圆上，即A、B、C、圆的基本性质后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O中，A为优弧C的中点，且AB=BC,E为圆上不同于A、B、C的任意一点，,请你写出AE、BE、 CE之间的数量关系？ 解析：设MOE = 0 ,BE 2 +EC2 +EA2=(2Rsin0)2 +2Rsin(60 +0)2 +2Rsin(60 -0)2=6R2 =三角形边长的平方的2倍(即为定值)变式5：在学习了圆的基本性质后，小健为小康准备了如下问题： 已知在圆O中，四边形ABCD是正方形，E是不同于A、B、C、D的任 意一点，请你写出 AE、 BE、 CE、 DE 之间的数量关
6、系？变式5【分析】通过探究我们可以发现EB 2+EA2+ED 2+EC2是一个定值. 解析:连结 AC, /AEC 二 90, AE2 +EC2 =d2 伺理可得 BE2 + DE2 = d2所以AE2 + EC2 + BE2 + DE2 = 2d2，而d等于正方形边长的帯2倍，即为定值.变式6 :已知在圆O中，A为优弧BC的中点，且AB=BC,E为弧BC 上的一点，求证 BE2+EC2+EA2=6R2由变式 5、变式 6 你能得出一个什么结论？ 结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为 定值数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采 取的变换方式在数学教学中进行数学“变式”练习帮助学生多角度地 理解数学方法、化归数学方法，使学生从“知识性”向“智力型”转换“教师讲例题，学生仿例 题”的公式化的教学，阻止了学生思维的发展所以在平时的例题和习题的教学中，应紧密 结合例题、习题进行有目的、多角度的变式训练. 教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变同时引导学生去探索数学问题的规律 性，能够在生活中学以致用，增强学习的信心和兴趣
