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1、数值分析试题集(试卷一)一(10分)已知Xi* 1.3409 , X2* 1.0125都是由四舍五入产生的近似值，判断xx?*及xx*有几位有效数字。二(10分)由下表求插值多项式x012y234y1-1三(15分)设f ( x) C4 a,b，h( x)是满足下列条件的三次多项式H (a) f ，H (b) f (b) , H (c) f (c) , H (c) f (c)( a c b )求f (x) H ( x)，并证明之。1四(15分)计算dx，10 2。10 x五(15分)在0, 2上取X。0 , X 1 , X22，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。六(10分)证明改
2、进的尢拉法的精度是2阶的。七( 10分)对模型yy ,0，讨论改进的尢拉法的稳定性。八(15分)求方程x 3 4x2 7x 10在-1.2附近的近似值，10 3。(试卷二)一 填空(4*2分)1 k ( x) k0是区间0，1上的权函数为 (x) x2的最高项系数为1的正交多项式族，其中10 (x)1，则 x 0 ( x) dx ，1 ( x) 。02 12 A，则 A ，( A)。1 4a 123设A，当a满足条件时，A可作LU分解。144设非线性方程f （ X）（X33x2 3x 1)( x 3) 0 ,其根 x1 *3 , x2 *1,则求 x1*的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是
3、10.5二（8分）方程组AX=b，其中A052a 0.5a0.5，X , b R311试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的 收敛最快？a的取值范围，a取何值时雅可比迭代2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。y f （ x, y）三（9分）常微分方程初值问题的单步法公式为yy（x0 ）yn 1yn 1 2hf ( %，yn )，求该公式的精度。四（14分）设A Xb为对称正定方程组1求使迭代过程x kX1k(bAXk ）收敛的数的变化范围；211x102用此法解方程组120x21101x30（取初值X。（ 15 15 1)T，小数点后保留
4、4位，给出前6次迭代的数据表）。（试卷三）设A=1，求A的谱半径（A），范数为1的条件数cond （ A）。1f xn 5 xn 15 ,xi5 xn 2 ，0, h 2 5 ），分别计算该函数的二、三阶差商 I If xn 5 xn 1 5 xn 2 5 xn 3 。三设向量x ( x1 5 x2 5 x3 ) T1若定义 xx |2x2| . x3，问它是不是一种向量范数？请说明理由。2若定义 xx1 3x2-x3，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。211120，将矩阵分解为A L LT，其中L是对角线元素1|0（I15253）的101下三角阵。五设有解方程12 3x 2 COSX 0
5、的迭代法xn 1位有L是对角线元cos x3 1证明：对任意 x0( 5 )，均有lim xnx* ( x*为方程的根)；n2取X。4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10 3，列出各次迭代值；3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六对于求积公式1 1131f ( x)dx2 f(_ )f ( _) 2 f ( _ )342401求该求积公式的代数精度；2 证明它为插值型的求积公式。(试卷四)一填空题(每空 5分，共25分)1设精确值为x0.054039412,若取近似值*，该近似值具有x 0.05410281效数字。,x 2 设 f ( x) 3x 2 5， xi i ( i 0,1,
6、2,)，则二阶差商 f xn , xn 1 , xn 2 n 31 13 A，贝ij ( A)。5 1a 124 设A，当a满足条件 时，必有分解式 A=LL T，其中a 4素为正的下三角阵。111235求积公式f ( x) dx_2 f(_)_f ()_(_)的代数精度为。3 43 2340二 (10分)设f (x) C 3 0, 1 ，试求一个次数不超过2的多项式P(x)，使得p(0) f (0) 1, p(1) f (1) e , p (1) f(1) e三(20分)1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式bba(b a) 2f ( x)dxf (a) f (b)f (b) f (
7、a)2 12a且其余项为R (b a)5 f (4)( )( (a ,b)4! 302利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式xnf (x)dxx0h2Tnn 12f (Xn )f ( x0 )11b a这里：Tnh-f ( xo )f ( Xi )f ( xn 1)一 f ( xn ) , xi x0 i h, h22nyn )Wn 1 yn）h （具有尽可能高的局部截断误差。（符号说明:(15n1 y( x n 1)5 yn方程x3x21 0在y（ xn）x01.5附近有根,对于给定的迭代关系式1、2、1，试问：xk问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前 估计该迭代式的收敛速度。
8、6步迭代的近似根。0.5（15分）方程组AX b，其中A0.50.50.5，b1a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。（说明：数值实验的数据请以列表形式写出。）（试卷五）一填空题（每空 5分，共25分）1已知x1I-3409， x 2 I-0125都是由四舍五入产生的近似值，x1x*2 的有效数字是几位。2 设 f （ x） 3x2 5，xi i （ i 0,1,2,），则二阶差商 f xn , xn 1 , xn 2 。1 13A则 II A11，则1。5 1设Aa 124
9、./ ，当a满足条件14时，A可作LU分解。5设xi（i 0, 1, 2, n ）是互异节点，对于kn0, 1,2, , n，Xjk l i ( x)i 0二（10分）由下表求插值多项式x012y234y 11 i三（25分）1 设f （ X）在 a , b上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式b f (x)dxf (a) (ba)f(a) (ba) 2f(b a)3a262利用这个公式扌隹导以下复化求积公式hxn f (x)dxT2nf ( xn )f ( x0 )6X011b a这里：Tn h-f ( X。) f凶）f ( xn 1)f ( xn ),xix0i h , h22n
10、13对于给定精度10 4，利用上述求积公式Tn，选取合适的求积步长h，计算IeX2dx0的近似值。y f (x, y)四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为yn i 2 ynyn 1 hf ( %，y )，求该公式的精度。五（15分）设有解方程1 证明：对任意x0yy(xo )212 3x 2 cosx 0 的迭代法 xn 14 _ cos xn3(,)，均有lim Xnx*( x*为方程的根)；n2取Xo 4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10 3，列出各次迭代值;3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六（15分）设方程组5x12x2x312x14 x22x3202X13x210
11、x331给出雅可比迭代算式；2说明其收敛性；3取初始向量X。（ 0, 0, 0）T，给出其前6步迭代所求出的近似值。（说明：数据请以列表形式写出。）（试卷六）一填空题（每空 5分，共25分）1已知x1 I-3409， x 2 I-0125都是由四舍五入产生的近似值，x1 x*2 的有效数字是几位。2 设 f （ x） 3x2 5，xi i （ i 0,1,2,），则二阶差商 f xn , xn 1 , xn 2 。1 13A则 li Al 1，火1。5 1设Aa 124./ ，当a满足条件14时，A可作LU分解。5设xi（i 0, 1, 2, n ）是互异节点，对于kn0, 1,2, , n，
12、Xjk l i ( x)i 0二（10分）由下表求插值多项式X012y234y1-1三(25分)1 设f ( X)在 a , b上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式bf (x)dxf (a) (ba)f (a) (b a) 2 f(b a)3a262利用这个公式推导以下复化求积公式hxn f (x)dxTn2f ( xn )f ( x0 )6X0这里：Tn h-1f ( x。) f(xi )1f ( Xn i ) - f ( xn )，xix0i h , h223对于给定精度10 4，利用上述求积公式丁门，选取合适的求积步长的近似值。b anih，计算leX2dx0y f (x, y)四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为yn i 2 ynyn 1 hf ( %，y )
