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1、第二章 曲面论伪球面一、 曳物线(tractrix) 从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。直线l为其渐近线。 我们首先定义平面上的曳物线如下： 定义 如果曲线C上任意一点P的切线与轴的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线。轴称为曳物线的渐近线。 下面我们来推导曳物线的方程，设它的方程为 。 曲线上一点处的切线方程为，切线轴的交点为，因为，所以 ，由此得出， ，令，则，于是 。因此，平面上以轴为渐近线的曳物线方程是 。二、 伪球面由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。这种曲面的全曲率在每一点都是常
2、数且是负的。位于此曲面上的直线与平行公设不一致。因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。曳物线绕其渐近线旋转一周而得到的曲面。1868年意大利数学家贝尔特拉米首先提出伪球面可作为实现双曲几何的模型，从而促使非欧几何得到普遍承认。 如果把上述曳物线轴旋转，所得的旋转曲面称为伪球面，它的参数表示是对旋转曲面，第一基本形式是， 高斯曲率是。将伪球面的参数代入计算，所以伪球面 的第一基本形式是，伪球面的高斯曲率是 ，伪球面的高斯曲率是负常数。伪球面及其测地线1.伪球面的参数方程及其高斯曲率伪球面是由拽物线:绕z轴旋转而来.所谓拽物线是满足如下拽物方程的曲线:于是得到伪球面的参数方程
3、:作图得到:由对于旋转曲面x Cos(u), x Sin(u), f(x)的高斯曲率公式:得到伪球面的高斯曲率为 常数 -1.2.伪球面的测地线方程直接计算伪球面的法向n(非单位)为:这样, 若伪球面上的曲线rt=X(x(t),u(t); 则由测地线应满足的条件得到测地线方程为:特别地, 令 x(t)=t, 则可解得:u(t)=于是, 我们可以具体的求出这条测地线. 作图如下:图中红线表示这条测地线.注意由测地线方程可知:伪球面上的经线和纬线都不是测地线. 贝特拉米目录1简介 2主要成就 3研究成果对后世 4非欧几何的其他 简介 贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899），意大利数学
4、家。 主要成就 证明了罗巴切夫斯基的非欧几何。1868年，贝特拉米利用当时微分几何的最新研究成果，发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明了非欧几何可以在欧几里德空间中的“伪球面(pseudo-sphere)”，即“曵物线(tractrix)”的“回转曲面”上一一对应的实现，从而奠定了罗巴切夫斯基思想得到普遍承认！伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，其高斯曲率为负常数的特殊曲面。具体而又是在，伪球面的内蕴几何与罗氏几何是一致的，一个伪球面可以解释成为罗氏几何中一个平面的一部分。这就为罗氏几何提供了一个模型。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧
5、几何也就自然没有矛盾。此后非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。 研究成果对后世的影响 因为贝特拉米非欧几何解释的尝试的出现，才将罗巴切夫斯基从非议中解救出来，他所创立的非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。长期无人问津的非欧几何开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。从贝特拉米的证明开始，非欧几何终于从一个无聊的“牛角尖”，变成了公认的理论。这些钻牛角尖的人，终于可以扬眉吐气，证明他们的牛角尖钻得是有意义的，而且是有很重大的意义的。 非欧几何的其他证明 稍后，彭加勒和克莱因在欧氏系
6、统也分别构造了罗氏几何的模型。彭加勒的模型是：在欧氏平面上划一条直线而使之分为上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当做罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所作出之半圆周算做是罗氏几何的直线。然后，对如此规定了的罗氏几何元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立。借助彭加勒模型可以证明罗氏几何的相对相容性。这种解释性模型是数理逻辑和数学基础中的理论研究的重要方法。而描述性数学模型是解决实际应用问题的重要手段。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。 【注1】 我们之所以称曲线(4)为曳物线的原因如下: 过这条曲线上每点P, 作切线与轴交于Q, 可以验证: 线段PQ的长度为a. 这就相当于人Q用一根长为a的直绳拖曳着物体沿z -轴走动时, 物体P 所走出的轨迹, 它正好就是曲线(4), 因而我们就称曲线(4)为曳物线.原始更生动形象的解释主人拖曳着不情愿跟着走的狗，主人沿直线走，狗所走出的轨迹；或狗走前面，人走后面。中国以前所扎的扫把形状，类似于曳物线一段所围的图形。【注2】可以验证第一象限内曳物线与正半轴, 正半轴之间所夹部分的面积为，这是半径为的圆面积的. 该曳物线绕z -轴旋转所得的曲面的表面积是, 这恰等于半径为的球面的表面积的；这曲面所围的体积是恰为半径为的球体积的 。13
