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1、精品题库试题 理数1. (2014大纲全国,11,5分)已知二面角-l-为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D. 1.B 1.依题意作图,平移CD至AD,作AEl,且DEl,连结BE,BD,则DE面BAE,则EAB=60,DAE=45,设AB=1,AE=1,则BE=1,DE=1,DA=.在RtBED中,BD=.cosBAD=,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.2. (2014重庆,10,5分)已知ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1S2,记a,b
2、,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24 2.A 2.设ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=-B,A+B=-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+sin 2A+sin 2B=-sin 2C+sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin C=4sin Asin Bsin C=sin Asin Bsin C=.则S=absin C=2R2sin Asin Bsin C=R2,R,abc=8R3si
3、n Asin Bsin C=R3,知C、D均不正确,bc(b+c)bca=R38,A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且168,若B成立,A必然成立,排除B.故选A.3.(2014江西,4,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是()A.3B.C.D.3 3.C 3.c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6.C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,由和得ab=6,SABC=absin C=6=,故选C.4.(2014课标全国卷,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1
4、,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D. 4.C 4.解法一:取BC的中点Q,连结QN,AQ,易知BMQN,则ANQ即为所求,设BC=CA=CC1=2,则AQ=,AN=,QN=,cosANQ=,故选C.解法二:以C1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),cos=,故选C.5.(2014课标全国卷,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1 5.B 5.SAB
5、C=ABBCsin B=1sin B=,sin B=,若B=45,则由余弦定理得AC=1,ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21=5,AC=.故选B.6.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且满足，. 则（ ）（A） （B） （C） （D） 6. D 6. 因为，；又因为，可得, 所以DEAC; ，则可得, 所以可得.7. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，9) 向边长分别为的三角形区域内随机投一点，则该点与三角形三个顶点距离都大于1的
6、概率为（ ）AB. C. D. 7. A 7. 设ABC的三边AB=5，BC=6，AC=. 根据余弦定理可得，又因为B（0，），所以. 所以ABC的面积为. 而在ABC的内部且离点A距离小于等于1的点构成的区域的面积为，同理可得在ABC的内部且离点B、C距离小于等于1的点构成的区域的面积分别为，所以在ABC内部，且与三角形三个顶点距离都大于1的平面区域的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.8.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 6) 已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为( )(A) (B) (C) （D）
7、8. A 8. 在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得a=2b，又因为c=3，所以可得，椭圆方程为.9.(2014湖北武汉高三2月调研测试，10) 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为 9. D 9. 分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,则, 等腰梯形的周长,令则，所以， ，所以，当即 ， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选D.10. (2014四川,13,5分)如图,从气
8、球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于_m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 670.92,cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80,1.73) 10.60 10.不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46,于是BD=ADtan(90-67)=46=19.5,DC=ADtan(90-30)=4679.6,BC=DC-BD=79.6-19.560(m).11. (2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=_. 1
9、1.2 11.利用余弦定理,将bcos C+ccos B=2b转化为b+c=2b,化简得=2.12. (2014福建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于_. 12.2 12.由=,得sin B=sin A=1,B=90,故C=30,SABC=ACBCsin C=42=2.13.(2014江苏,14,5分)若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是_. 13. 13.sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c,cos C=,当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为.14.(2014天津,12,5
10、分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为_. 14.- 14.由2sin B=3sin C得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cos A=-.15.(2014课表全国，16，5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为_. 15. 15.因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(
11、a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,又0A,故A=,又cos A=,所以bc4,当且仅当b=c时取等号,由三角形面积公式知SABC=bcsin A=bc=bc,故ABC面积的最大值为.16. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，15) 中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_（写出正确命题的编号）. 总存在某内角，使若，则存在某钝角，有；若，则的最小角小于； 若，则. 16. 16. 在中，当时，所以正确；当时，满足，不满足，故错误；设为钝角，则，所以，故错误；因为，所以，所以，由于与是一组基底，所以，所以，由余弦定理求得，故正确；若，则，
12、正确，因为在三角形中大边所对的角较大.故正确的是 .17. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，16) 在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角, 且 ，则实数范围为_. 17. 17. 因为，由正弦定理，所以，即，又角为锐角，所以，所以，所以，即，解得或，故的取值范围是.18.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，13) 在中，三个内角，所对的边分别为，若, 则= . 18. 18. 由正弦定理，所以，即，19. (2014周宁、政和一中第四次联考，13) 在中，角所对的边分别为. 若，则 . 19. 1 19. 由及正弦定理得，.20.(2014江苏苏北四市高三期末
13、统考, 13) 在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，若向量与的夹角为，则的值为 20. 7 20. 如图所示，设直线与相交于，由题意知，令，则由，可得，故为等边三角形，在中，由余弦定理求得，21.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 9) 在中，已知，且的面积为，则边长为 21. 7 21. ，由余弦定理得，.22. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 15) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为. ，则此球的表面积等于_. 22. 22. 三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，解得，根据余弦定理得，设外接圆的半径为，则，外接球的半径为，球的表面积为.23. (2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B. 23.查看解析 23.由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)24. (2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.()求cosCAD的值;()若cosBAD=-,sinC
