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1、的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零rr知识点梳理：一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：vvv向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段uuuruuurrruuura=xi+yj=(x,y)向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大r小，记作a向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小rrrvrrr向量a0a0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位
2、长度的向量rr向量a为单位向量a100平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作ab由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的为a=b大小相等，方向相同(x,y)=(x,y)1y=yuuurruuurrrruuuruuuruuur相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过
3、平移后总可以重合，记rrx=x21122122向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设AB=a,BC=b，则a+b=AB+BC=ACrrrrr（1）0+a=a+0=a；（2）向量加法满足交换律与结合律；（）la=la；rra的方向相反；当l=0时，la=0，方向是任意的记作-a,零向量的相反向量仍是零向量rrrrrrrrrrrrrrrrrr向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最
4、后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB+BC+CD+L+PQ+QR=AR，但这时必须“首尾相连”3向量的减法rr相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量rrrrrrrr关于相反向量有：（i）-(-a)=a；(ii)a+(-a)=(-a)+a=0；rr(iii)若a、b是互为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0r向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，
5、r记作：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法r作图法：a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4实数与向量的积：rr实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：rrrrr（）当l0时，a的方向与a的方向相同；当l0时，a的方向与r数乘向量满足交换律、结合律与分配律rrr向量b与非零向量a共线有且只有一个实数l，使得b=laa，有且只有一对实数l,l使：a=le+le，其中不共线的向量e,e叫做5两个向量共线定理：r6平面向量的基本定理：rr如果e,e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量r12rrrrr12112212
6、表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关例1给出下列命题：rrrr若|a|b|，则a=b；uuuruuur若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；rrrrrr若a=b，b=c，则a=c，rrrrrra=b的充要条件是|a|=|b|且a/b；rrrrrr若a/b，b/c，则a/c，
7、其中正确的序号是例2设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAB+BC+CD，DB+AC+BD-OA-OC+OB-COrrrrrrrrrr例3设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb(kR)，若cd，试求k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个rrr单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表rrrrr示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的rr坐标，记作a=(x,y)，其中
8、x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关(1)若a=(x,y),b=(x,y)，则arb=(xx,yy)ruuurr11r(3)若a=(x,y)，则la=(lx,ly)(4)若a=(x,y),b=(x,y)，则ar/bxy-xy=0rrrrrrrr112平面向量的坐标运算：rr11221212,(2)若A(x,y)B(x,y)，则AB=(x-x,y-y)222121r11221221(5)若a=(x,y),b=(x,y)，则ab=xx+yy221212若a
9、b，则xx+yy=01212rrrrrrrrrr例1已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b，v=2a-b，且u/v，求实数x的值例2已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标4向量的模与平方的关系：aa=a2=|a|2三平面向量的数量积1两个向量的数量积：rrrrrr已知两个非零向量a与b，它们的夹角为q，则ab=abcosqrrrr叫做a与b的数量积（或内积）规定0a=0rrabrrr2向量的投影：bcosq=rR，称为向量b在a方向上的投影投影的绝|a|对值称为射影rrrrr3数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积rrrrr2r25乘法公式成立：rrrrr(a+b)(a-b)=ar2-b2=a-b；(arbr)=arrrrr222rrr2ab+b2=a22ab+b对实数的结合律成立：(la)b=l(ab)=a(lb)(lR)6平面向量数量积的运算律：rrrr交换律成立：ab=barrrrrr分配律成立：rrrrrrrrrr(ab)c=acbc=c(ab)特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；(
