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1、 5、定积分得换元法一、换元公式【定理】若1、函数在上连续；2、函数在区间上单值且具有连续导数;3、当在上变化时，得值在上变化，且，则有(1 ）证明：( ）式中得被积函数在其积分区间上均就是连续，故（1) 式两端得定积分存在 . 且(1 ）式两端得被积函数得原函数均就是存在得。假设就是在上得一个原函数，据牛顿- 莱布尼兹公式有另一方面 ,函数得导数为这表明 :函数就是在上得一个原函数，故有 :从而有对这一定理给出几点注解：1、用替换 , 将原来变量代换成新变量后, 原定积分得限应同时换成新变量得限 .求出得原函数后 , 不必象不定积分那样，将变换成原变量得函数, 只需将新变量得上下限代入中然后
2、相减即可。、应注意代换得条件, 避免出错。( ) 、在单值且连续；(2 ）、对于时 ,换元公式 (1) 仍然成立。【例 1】求【解法一】令当时, ；当时 , 。又当时，有且变换函数在上单值 , 在上连续 ,由换元公式有【解法二】令当时,；当时，又当时，且变换函数在上单值，由换元公式有。在上连续 ,注意 :在【解法二】中 , 经过换元 , 定积分得下限较上限大。换元公式也可以反过来，即【例 2】求解：设 ,当时,; 当时,一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分得上下限 .二、常用得变量替换技术与几个常用得结论【例】证明1、若在上连续且为偶函数，则2、若在上连续且为奇函数，则证明 : 由定积分对区间得可加性有对作替换得故有?若为偶函数，则若为奇函数，则【例 4】若在上连续，证明 :1、2、并由此式计算定积分1、证明: 设，、证明:设，【例 5】求解：令，故评注：这一定积分得计算 并未求原函数 , 只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。
