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1、2019年北师大版精品数学资料1初识无限一位富翁偶然听到一个数学教授给学生谈论“无穷”，心里便琢磨，这“有限多个”好理解，比如“我的钱财有限多”，可这“无穷”是什么呢？难道就是跟自然数一样多，或者“更多”？富翁想知道自己理解的究竟对不对，于是就问教授：“请问无穷是什么？”教授回答说：“无穷就是没有穷人，都像您一样富有”教授看到富翁不理解的样子，就进一步解释说：“想一想，如果地球上的人有无穷多个，比如说，可以和自然数对应起来，而且每个人只有一元钱，不要多，那么第一个向第二个人借一元，第二个向第三个借一元，依次往后借，如此下去，第一个人就有2元钱，其他人也没有少钱”富翁点头承认，并说：“那还是没有
2、我的钱多”教授接着说：“如果第一个人重复一百万次，那不就是百万富豪了？！”富翁这才恍然大悟，明白了“无穷”是什么 1大约在1872年，德国著名数学家_关于无限的研究在数学史上引发了一次大地震他指出，无限是一个奇妙的新世界，其中不但有大小之分，而且还可以进行计算2若在集合A与B之间，存在元素间的对应法则f，使得A中的任一个元素a，按照对应法则f，必有B中_元素b与之对应；反之，B中的任一元素b，按照对应法则f，必有A中_元素a与之对应，则称f为A到B上的一对一的映射，简称f建立了A与B之间的一个一一对应3康托的功绩是把一一对应的概念推广到了_集上4在集合A与B之间，若存在一个一一对应，则称它们有
3、相同的_，并称它们是_5若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是_6有理数集与正整数集具有_基数，即有理数集是_答案：1康托2唯一的唯一的3无限4基数对等的5可数的6相同的可数的一、一一对应【例1】 设A(1,1)，R(，)建立集合A与R之间的一一对应关系思路分析：关键是找到一个对应法则f，使对任意的xA，按照对应法则f，必有R中唯一的元素y与之对应；反之，R中的任一元素y，按照对应法则f，必有A中唯一的元素x与之对应解：任取A中的元素x，规定对应法则为：x先乘以，再取正切值，即ytanx，则yR且y唯一存在；反之，对任意的R中的元素y，根据对应法则ytanx，一定在A中有
4、唯一的x与之对应从而对应法则：ytanx，xA，yR，就建立了集合A与R之间的一一对应关系本题要理解一一对应的本质是两个“唯一”另外在建立两个集合之间的一一对应关系时，要借助于我们熟悉的函数设A，B1,1，建立集合A与B之间的一一对应关系【例2】 已知集合AR，集合By|yR，y1，xA，yB，对应关系是f：xyx22x2.f：AB是A到B的对应吗？是一一对应吗？若不是，如何改动集合A(集合B和对应关系不变)，使之成为对应、一一对应？解：由于x22x2(x1)211对任意的xR都成立，即对任意的xAR都有唯一确定的yx22x2R与之对应，故f：AB是由A到B的对应，又由对应关系知，对于A中元素
5、0,2的像都是2，所以f：AB不是从A到B的一一对应若将A改为Ax|x1，则A到B的对应f：xyx22x2就是A到B上的一一对应了在R内，下列对应是否是一一对应？若是，请说明；若不是，能否对x(或k)加以限制，使之成为一一对应？(1)xykx；(2)xy|x|1；(3)xy2x24x7.二、基数【例3】 将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合记为A，整个平面上的点所成的集合记为B，证明集合A与B有相同的基数(即A与B是对等的)思路分析：要想证明A与B是对等的，依据定义，只需证明集合A与B之间能建立一个一一对应关系证明：设球心为O，球面上去掉的一点为C，过点C的直径为CD，现将球放置在平面上，使
6、球与平面相切于点D，如图，在球面上(除C点外)任取一点E，连接CE并延长交平面于点F，F点唯一存在；反之，在平面内任取一点F，连接CF，则CF交球面于点E，点E唯一存在这样，建立了球面(除C点)与平面之间的一一对应关系故集合A与B有相同的基数在建立A与B的一一对应关系时，要巧妙地利用图形上的特殊点，安排它们的相对位置，这样建立一一对应关系就会轻而易举证明：正整数集Z与正偶数集有相同的基数【例4】 正整数集Z中去掉“1,2,3,4,5”五个元素后，剩余的元素构成集合B，证明Z与B有相同的基数思路分析：构造函数，建立Z与B之间的一一对应关系解：任取集合Z中的一个元素x，按照对应法则f：xyx5，在
7、集合B中存在唯一的元素y与x对应反之，在集合B中任取一个元素y，按照对应法则f：xyx5，在集合Z中都存在唯一的元素x与y对应从而，对应法则：yx5，xZ，yB建立了集合Z与B之间的一一对应关系从而Z与B有相同的基数在集合Z与B之间若存在一个一一对应，则称它们有相同的基数，并称它们是对等的全体正整数的平方数组成的集合A1,4,9,16,25，证明：A与Z有相同的基数三、可数集【例5】 证明：正有理数集是一个可数集思路分析：把正有理数排成一个数阵，然后按照一定的规则建立与正整数集的一一对应关系证明：把正有理数排列成如上图形式的序列其中，第一行依大小次序包括所有以1为分母的正分数，即全体正整数；第
8、二行依大小次序包括所有以2为分母的正分数；第三行依大小次序包括所有以3为分母的正分数显然，每个正有理数都出现在这个序列中必须注意的是，其中有些有理数是重复出现的现在我们从开始，按照箭头所示的方向依次指定1对应，2对应，3对应，4对应遇到重复出现的有理数时，只需跳过去，对应下一个第一次出现的有理数每一个有理数必将在某一步对应于一个被指定的有限的自然数于是，上面列出的正有理数集合与自然数集合构成一一对应从而，正有理数集是一个可数集要注意上述数阵中的有理数有重复的情况，比如，要将重复的去掉把正有理数按照一定次序写成数阵是解决本题的关键有理数集与正整数集有相同的_，所以有理数集是可数集【例6】 若A1
9、，A2，A3，An是n个可数集，证明：A1A2An也是可数集思路分析：关键是按照某一规则将A1A2An中的元素一一数下去解：因A1，A2，A3，An都是可数集，按照上图箭头的顺序可将A1A2A3An排列：a11，a21，a31，an1，a12，a22，a32，an2，a13，a23，a33，an3，a14，a24，a34，an4，遇到重复的数字，跳过去即可去掉其中重复的元素之后，我们可以用正整数1,2,3,4，把所有的元素数完，故A1A2An是可数集本题的方法不唯一，你可以改变箭头的指向，得到其他的数法证明：任何无限集合都至少包含一个可数子集1康托建立的“无穷集合论”，使人们看清了“无穷”的真
10、面目2理解无限的关键思想是一一对应，它是我们研究“无限”所使用的最基本、最重要的工具理解一一对应的概念要抓住定义中的两个“唯一”3在研究无限集合时，引入了一个新名词基数：在集合A与B之间，若存在一个一一对应，则称它们有相同的基数，无限集合的基数相当于有限集合的“元素个数”4若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应关系，则称这个集合是可数的全体整数集和有理数集都是可数集这就意味着，全体正整数与全体整数一样多；全体正整数与全体有理数一样多答案：1思路分析：借助正弦函数建立一一对应关系解：任取xA，按照对应法则f：xysinx，在集合B中存在唯一的元素y与x对应反之，在B1,1中任取一个元素y，
11、按照对应法则f：xysinx，在集合A中都存在唯一的元素x与y对应从而，对应法则：ysinx，xA，yB，就建立了集合A与B之间的一一对应关系2解：(1)k0时不是一一对应，k0时是一一对应；(2)不是一一对应，当x0(或x0)时是一一对应；(3)不是一一对应，当x1(或x1)时是一一对应3证明：对于正整数集Z中的任一个元素x，通过对应法则f：x乘以2，则在正偶数集中存在唯一的元素2x与之对应；反之，对于正偶数集中的任一个元素2x，通过对应法则f：2x除以2，则在正整数集Z中存在唯一的元素x与之对应所以正整数集Z与正偶数集之间存在一一对应关系所以正整数集Z与正偶数集有相同的基数4证明：任取正整
12、数集Z的一个元素x，按照对应法则f：xyx2，在集合A中存在唯一的元素y与x对应反之，在集合A中任取一个元素y，按照对应法则f：xyx2，在Z中存在唯一的元素x与y对应从而，对应法则：yx2，xZ，yA，建立了Z与A之间的一一对应，从而A与Z有相同的基数5基数6证明：设M是一个无限集，因M，总可以从M中取一元素记它为e1，由于M是无限集，故Me1，于是又可以从Me1中取一元素，记它为e2，显然e2M且e1e2，设已从M中取出n个这样的互异元素e1，e2，en，由于M是无限集，故Me1，e2，en，于是又可以从Me1，e2，en中取一元素，记它为en1，显然en1M且和e1，e2，en都不相同，这样由归纳法，我们就找到M的一个无限子集e1，e2，en，它显然是一个可数集
