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1、流体混沌的生与灭Marianne Freiberger关键词：流体动力学，混沌，纳维-斯托克斯方程人类空间充满了流体“大部分宇宙充满着类型不一的流体，”对流体动力学有特别兴趣的美国Haverford学 院物理教授Jerry Gollub说，“它们的重要性体现在天体物理、工程、医药、健康、 化学、地球物理等众多学科里。流体运动构成多尺度意义下的自然现象，具有影响社会 的许多应用。”人们对流体的迷恋历史悠久。流体的代表物水具有如此多样的能力屈服 却强大、包容却自由、宁静、混乱、甚而愤怒已经激励一代代诗人和科 学家；流体的科学研究可以追溯到阿基米德，或可能更早些。今天科学家研 究所有的流体，包括气体
2、、颗粒状流体、粘性流体及弹性流体。应用范围从 纳米技术的微观流体用途，到了解血液流动、眼泪的形成、空气动力学、预 测天气模式，以至了解外层空间的气体云行为。关于流体流动本质的问题比 比皆是。“流体动力学不像基本粒子物理那样被几个特殊问题所左右，”Gollub 说。“流体动力学中包含着巨大的多样性。”虽然流体力学的许多研究由应用驱动，但很有意思的是它同样存在着一些需 要回答的根本问题。其中最基本的问题一一数学上如何最佳刻画流体的流动在最一般情形下仍然未被解答。当流体平滑地流过一个通道时，相关的 数学刻画没有问题。但是你怎样对付混沌的甚至湍急的流动，比如说急促的 山涧激流？传统处理蓝色和红色分别表
3、示正时针和反时针旋转。给定的磁场和电流导致了流体的运动。 为设置场景，我们先来看看关于流体流动的传统数学处理。想象在某个容器内运动着的一种流体，你想描绘它在一个时间段内的运动。这个运动的最重要的描绘物是空间中每一占八、和时间上每一点t的流体速度。速度是向量；它的方向表示了流体的流动方向，而它的大小则是流体的速度值。因为空间和时间是连续的，一个完整的描述将需要无穷多个向量，在每个位置和每个时刻都要有一个。空间点2 ）和时刻t相应的速度向量函数2丿（劝妙疙龙） 称为一个速度场。在某些情况下，19世纪初期法国工程师与物理学家Claude-Louis Navier和英国数学家 George Gabri
4、el Stokes共同建立的流体运动的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程可 用来得到速度场。他们的方程基于质量与动量守恒律，将不同位置和不同时刻的速度变 化联系起来。因为这些方程包含了变化率，以导数的方式成形，因此被称为偏微分方程 组。这些方程组在给定条件下的解（假如存在并能被找到）恰恰就是可能的速度向量函 数乜6妙z才）上述描述仅是理论刻画，但实际情形并非那么简单。偏微分方程组一般难以求解，尤其 当它们是非线性的时候，纳维-斯托克斯方程也不例外。在某些简单情形下，有可能得 到解析解，即能显式写下来的解，但在众多物理上有趣的情形下，例如湍流，解析解根 本得不到。更有甚者，没人知道
5、一般情形下三维不可压缩流体有物理意义的解是否存在。 这里“不可压缩”表示流体的密度处处相同，数学上即流体速度场的散度处处为0。事 实上，纳维-斯托克斯方程通解的存在性证明是数学上最重要的问题之一；美国的克莱 数学研究所（Clay Mat hema tics Ins titut e）为此悬赏了一百万美元的奖金。看到包括飞机制造在内的众多现代工程都依赖于流体动力学，这些理论上的 不完善似乎令人担忧。然而,为了实际目的，科学家和工程师利用理论方法、 计算机模拟和实验数据在时空上来近似速度场。数值方法得到的计算结果效 果很好，但需要的计算能力是非常巨大的。设想你要描绘一个边长为10厘米 的立方体中的流
6、体运动，你想知道间距为1毫米的速度，计算时在每根数轴 上你必须给出100个数点。你有三个数轴，故在时间的每一个时刻你总共必 须指定一百万个数。这样面临着计算机储存和运算速度的需求。假设这点可 以得到满足，但对于这么多数据你能做什么呢？大量的变量即使是高速计算 机处理也会变得困难。很多科学家并不欣赏蛮力的数值方法，因为这种处理 方式完全谈不上优雅。问题是有描述流体流动的更好方法吗？新思想*I图2 :实验中出现的涡的结构，这是一种规则涡的情形。致了不可预测的混沌状的空间结构。Gollub相信试验揭示隐藏模式的力量，正是试验使得他和耶鲁大学的合作者Nicholas Ouellette得到他们的新发现
7、。在流体动力学里描述湍流是个圣杯的东西。作为湍流的 某种前兆，Ouellette和Gollub已经提出了时空混沌的问题。展现时空混沌的流体在空 间里是无序的，并在时间上也是不可预测的，也就是说流体目前状态的知识并不能让下 一个瞬间可预测。相反，我们预测未来的能力随着时间的推移逐渐变得不准确，而这种 不确定性依时间推移指数式地增加。另一方面，虽然该行为是复杂的，但它还不像“强 湍流”那么野性，后者许多尺度（所有尺寸的涡流）的运动同时出现。“我们已经感兴 趣于研究由漩涡集合组成的流动或流通区域,Gollub说。这样的流动能展示时空混沌。“你怎样有效地描绘这样的流动？你真的如传统上做的那样需要整个的
8、速度场信息，或 用更简单的东西达到目的？”在他们的试验中，Ouellette和Gollub考虑一层薄薄的导电流体，在那里所有流体活动 发生在一个水平面上。为跟踪流体，他们把成千上万的荧光聚苯乙烯示踪粒子放进流体。 然后他们用磁铁和电流让流体流动，并生成了一个漩涡图案。通过改变电流，他们能够 控制流动的复杂性：对小驱动电流，漩涡停留在固定的位置上（见图2）,而当电流大 些时，这些漩涡挣脱出来，不可预测地移来移去。这就形成了一种混沌状态。“随着时 间的推移，漩涡以一种极不规则的方式运动。十秒钟后的模式与之前的看上去完全不同， 并且似乎从不重复自己。”（见相关视频1）HyperbolicEllipt
9、ic流动。英美的这个研究小组不是通过在大量的点上测量速度来描述这个复杂的运动，而是决定 寻找刻画整个流动的几何特征。他们感兴趣于两类特殊点的集合：那些称为椭圆点的位 于漩涡中心的点以及双曲点或鞍点（见图4）；后者这些点流入时沿着一个方向收敛而 流出时则沿着另一个方向发散。椭圆点让流线围着它们旋转，而双曲点可导致各种复杂 现象，比如在四个漩涡相遇之点，其相邻漩涡对以不同方向旋转。这些类型的点告诉你， 在给定的时间点，哪里漩涡居中，哪里漩涡将结束而新的漩涡将开始。问题是这些信息 可充分刻画整个流动吗？还有一个问题：如何找到这些特殊点？ 一个可能性是找速度为零的点，但这 很难精确做到。但是Ouell
10、ette有一个聪明的想法。他发现靠近椭圆点示踪 粒子以非常小的圆圈流通，而靠近双曲点它们则以尖角相转。在这两种情况 下，粒子的运动轨迹表现出非常大的曲率。这样微分几何的思想就可以派上 用场了。通过测量示踪粒子的运动轨迹的曲率，就可以给出找到这些特殊点 的一个可靠方式。相关视频1湍流的生与灭o|O 图5:流体流动中的特殊点。圆圈代表椭圆点,而加号代表双曲点。一旦找到了特殊点，通过跟踪它们随时间推移的行为，学者们发现了一些令人惊奇的模 式。最有趣的现象是这些特殊点能生能灭，并且成对地出现或消失。Gollub解释道,“双曲点和椭圆点可互相消灭对方，使其在该区域不留下特别的功能。同时也有相反的 事情发
11、生：一个双曲点和一个椭圆点一起生成。这是非常惊人的。”(见图5和相关视 频2)尽管令人惊奇，但它能告诉我们关于系统有用的东西吗？学者们使用不同的驱动电流来 反复试验，并在每个强度下测量特殊点的生灭频率。他们发现了一个有趣的相关性：特 殊点的发生率原来是流动中混沌烈度的一个极好测量。流体的典型速度可以由一个叫雷 诺数的量来测量(参考The buzz of the bumblebees )。实验发现，一旦通过某个临界 值，特殊点生灭频率的增长速度线性依赖于雷诺数。更进一步的观察发现，该速率与其 它关于时空混沌强度的测度相关得很好。换言之，特殊点的生灭率为时空混沌状态的一 个典型特征。椭圆和双曲点似
12、乎也阐明关于流体流动的另一个重要问题，即混沌是否突然 出现或逐步发展。Ouelle tte和Gollub的实验可以测定临界雷诺数，这个临 界数能够确定特殊点的生与灭，也就是时空混沌的起始点。在略低的雷诺数 下，流体可能是弱依赖于时间，即弱不可预测的。Gollub说：“由于时空混 沌的起始基本上是强大不可预测性的，所以了解流体不同状态间的区别，是 了解混沌的一个极重要的环节。”路径。重要的问题是这些路径能够被数学描述吗？Gollub和Ouellette的结论是实验和复杂数学思想的一个有趣的联姻，并且是在一个重 要的方向上的充满希望的第一步：用相对小数目的几何特征来描述异常复杂的物理现 象。但还有
13、许多需要做的事情。“我们还未能以一个简单的数学方式来表达我们的研究 结果。例如，随着时间的推移，我们的特殊点徘徊在周围空间内形成复杂纠缠的路径（见 图6）。我们希望能用描述这些轨迹的方程来表达相关的流体动力学，至少在统计的意 义上可以做到。这是一个我们还没有达到的目标，并且我们甚至不知道是否有可能做到 这一点。” 能够用一组描述几何特征的简单方程来取代流体运动的经典纳维-斯托克斯 方程，这一远景会激发许多流体动力学家。所以，Ouellette和Gollub的发 现是否为一场革命？ Gollub留有余地地说，这是一条“值得走的研究之路， 我们在预测科学或数学的进步意义方面通常很差劲。我不知道我们的工作是 否会被证明是重要的，但这不是我们工作的动机。我们这样做是因为它是有 趣的，是因为在我们正在研究的形状和形式中有体现物理美的东西，有体现 物理现象和数学之间有益结合的元素。它变得有用是我们期望的，但不是期 待的。”相关视频2
