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1、综合实验一：人口增长模型及其数量预测一、实验目的及意义 1. 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； 2. 训练综合应用数学模型 、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； 3. 应用 matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计 matlab 程序来求解其中的数学模型； 4. 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛 。 二、实验内容 1. 数学建模的基本方法； 2. 查阅资料理解 M
2、althus 人口指数增长模型和 Logistic 模型； 3. Matlab 软件中曲线拟合函数的异常情况处理； 4. 误差分析与模型检验。 三、实验步骤 1. 分析理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型 ； 2. 利用 Matlab 软件求解上述两个模型； 3. 设计数据拟合方法； 4. 编写 M 文件 , 保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ，并进行误差分析； 5. 利用至少两种模型预测人口数量； 6. 分析、整理和总结，写出实验报告。 四、实验要求与任务 从 1790 1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如表综 2.1 所示： 表综 2.1
3、年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口 ( 10 6 ) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口 ( 10 6 ) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口 ( 10 6 ) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus) 人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口
4、模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国 2010 年的人口数量。 提示 1 ： Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻 t 的人口为 x ( t ），（即 x ( t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为 x 0 ，于是得到如下微分方程： 提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为 x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ， 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程： 2
5、010年美国人口预测报告97自动化 乔宇实验目的：1 掌握利用MATLAB软件解决拟合问题的方法2 学会用拟合方法解决实际问题实验内容：给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。表1 美国人口统计数据年 份1790180018101820183018401850人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份193019401950196019701980人口(106)123.21
6、31.7150.7179.3204.0226.5实验分析：首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2010年的美国人口。利用MATLAB软件作出美国人口统计数据的连线图如图1。图1 美国人口统计数据连线图 图2 建模方法1的拟合效果图建模方法1：由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数的最小值点。其中xi是ti时刻美国的人口数。利用MATLAB软件中的曲线拟合程序“cu
7、rvefit”，编制的程序如下：指数函数的函数M文件function f=fun1(a,t)f=exp(a(1)*x+a(2); 用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序t=1790:10:1990;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(t,x,*,t,x);a0=0.001,1;a=curvefit(fun1,a0,t,x)ti=1790:5:2020;xi=fun1(a,ti);h
8、old onplot(ti,xi);t1=2010;x1=fun1(a,t1)hold off 在MATLAB命令窗口运行该程序，输出结果a = 0.0148 -23.8311；x1 =358.4822因此，参数a=0.0148, b=-23.8307，拟合函数在2010处的函数值f(2010)=358.4822。但在求解时，出现提示“矩阵接近奇异或尺度不好，结果可能不准确”。通过作图，我们来看看拟合的误差如何，见图2。从图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合，因此，预测美国在2010年的人口数为358.4822百万。 建模方法2：上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈
9、指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t时，静增长率趋于零。按照这个假设，得到 (1)这便是荷兰数学家Verhulst于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（logistic模型）。在MATLAB命令窗口键入d
10、solve(Dx=r*x*(1-x/c),x(1790)=3.9)输出：ans=c/(1+1/39*exp(-r*t)*exp(1790*r)*(10*c-39)其中c=x。因此，人口的变化规律为： (2)利用MATLAB软件中的“curvefit”命令和函数(2) 来拟合所给的人口统计数据，从而确定出(2)中的待定参数r和x。编制的MATLAB程序如下：定义函数(2)的函数M文件function f=fun3(a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-(t-1790)*a(2); 用该函数来对所给的美国人口数据作最小二乘拟合，并作出图形观察拟合效果，编制的M文件如下：
11、x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(x,y,*,x,y);a0=0.001,1;a=curvefit(fun3,a0,x,y)xi=1790:5:2020;yi=fun3(a,xi);hold onplot(xi,yi);x1=2010;y1=fun3(a,x1)hold off图3 a0=0.001,1时的拟合效果图 图4 a0=300,1.2时的拟合效果图运行该程序输出a =
12、140.8449 0.0389,y1 =139.8928,并伴随有提示说“超过了最大迭代次数”。即(2)中的r=0.0389, x=140.8449，拟合效果见图3。从图形看出，拟合效果不好，特别是越过拐点之后，在1950年之后，与实际情况的偏离越来越大，转折太早，导致过早进入人口饱和期，极限人口x=140.8449也太小，不合实际。其原因何在呢？是否是a的初值取得不好，导致迭代次数很多，超过了预设值，都还没收敛到最优解？改变a的初值，取a0=300, 1.2时，误差更大，拟合曲线紧贴着横轴，近似于一条直线，如图4。再将r（即a(2)）的初值取为小于1的数，比如取a=200, 0.1时，得到a
13、 =311.9557 0.0280, y1 =267.1959，即(2)中的r=0.0280, x=311.9557，2010年美国的人口预计为267.1959百万人。这个结果还比较合理，当t时，静增长率趋于零，人口数趋于311.9557百万人，即极限人口x=311.9557百万。拟合效果见图5，效果比前面两种情形都好。图5 a0=200,0.1时的拟合效果只要取初值a0(2)在0与1之间，a0(1)大于150小于2000，结果均相同，因此，拟合中使用的优化方法对该问题来说是比较稳定的。建模方法3：从图5 看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更
14、好。因此，把用函数(2)来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改，看效果如何。将拟合准则改为： （3）其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。实现这些功能的MATLAB程序如下：先编写一个函数M文件，以定义优化问题(3)中的目标函数。function f=fun5(a)n=16;w=2;x=1790:10:1990;x1=x(1:n);x2=x(n+1:21);y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;y1=y(1:n);y2=y(n+1:21);f=fun3(a,x
