排列组合21种方法

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1、排列组合21种方法（总1 1页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此 解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问 题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合 理恰当的方法来处理。教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。2. 掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理（加法原理）完成

2、一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在 第2类办法中有m种不同的方法，在第n类办法中有m种不同 的方法，那么完成2这件事共有：n种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做 第2步有m种不同的方法，做第n步有m种不同的方法，那么 完成这件事2共有：n种不同的方法N = m xm xxm12n3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件 事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶 段，不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什

3、么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类 同时进行,确定分多少步及多少类。3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总 数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,123,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有Ci 然后排首位共有Ci| jJ最后排其它位置共有A：C1A4C1由分步计数原理得CiCi A3 = 2884 34位置分析法和元素分析法是解决

4、排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素 分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置 的要求.再处理苴它位置。若有多个约束条件.往往是考虑一个约束条件的同时还练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中 间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排 法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元的排法素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5 A2 A2 = 480种不同要求某几个元素必

5、须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻 的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须练习题:某人射击8枪，命中 4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三不相邻问题插空策略例3个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连 续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有a5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A4不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A4 种656练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又 增加了两个新节目

6、.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数为戲四定序问题倍缩空位插入策略例人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素 与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个 元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A 7 A 3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A4种方_7_法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A 4种_7_ 方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗 （插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插 入共有 方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为

7、练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法C 5五重复排列问题求幂策略（住店法）解决“允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重 复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素 看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军 的可能的种数有.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将 七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住 宿法，由乘法原理得 75种.例5把6名实习生（元素）分配到7个车间（位置）实习，共有多少种不同 的分法解:完成

8、此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法把第 二名实习生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共 有76种不同的排法即一个一个排（分步）！允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一 安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数练习题：1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加 了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法 的种数为42 （先插一个再插一个!）2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下 电梯的方法78（看清题目!一楼上的，下的话只有28层共7层!）六环排问

9、题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分， 所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8- 1）!种排法即7 !OOOOOOOOOABCDEFGHA一般地,n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法，即.N全排列数除以总数N （相 当于只有一个位置旋转而次序不变的所在排列都是一种）；n个元素中取出m个 元素作圆形排列共耳练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七多排问题直排策略例人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排 法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排. 个

10、特殊元素有A2种,再排后4个位置上的特殊元素丙有Ai种,_4_4_其余的5人在5个位置上任意排列有a5种,则共有A2AiA5种_54 4 5前排后排一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左 右相邻，那么不同排法的种数是346八排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共 有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有c2种方法再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有A4种方_4_法，根据分步

11、计数原理装球的方法共有C 2 A 45 4解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成 四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1 人参加，则不同的选法有丄92种九小集团问题先整体后局部策略例9用123,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有（即有且只有!） 两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个 解：把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有a 2种排法，再排 _2_小集团内部共有A 2 A 2种排法，由分步计数原理共有A 2 A 2 A 22 2 2 2 2种排法.小集团排列问

12、题中，先整体后局部，再结合其它策略进练习题：1 .计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画, 4幅油画, 5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A 2 A 5 A 42542. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 A 5 A 5 种255十元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分 配方案（注意有9个空隙,6个隔板!）解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形 成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额 分成7份，对应地分给7个班级，每一种插

13、板方法对应一种 分法共有C6种分法。将n个相同的元素分成m份（n, m为正整数），每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm一in 一1练习题：110 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法 C492 . x + y + z + w二100求这个方程组的自然数解的组数C3 十一.正难则反总体淘汰策略103例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小 于10的偶数,不同的取法有多少种 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘 汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3

14、 个偶数的取法有C3，只含有1个偶数的取法有C1C2，和为偶数的取_二5 5法共有C1C2 + C3。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的555取法共有C1C2 + C3 - 9555有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可 以先求出它的反面，再从整体中淘汰.练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部 书记至少有一人在内的抽法有多少种十二平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法解:分三步取书得C2C2C2种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨6 42记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步

15、取EF该分法记为(AB,CD,EF),则c2C2C2中还有642(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 33种取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF)种分法,故共有C 2C 2C 2 /A 种分法。6423平均分成的组，不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后要一定要除以An ( nn 为均分的组数)避免重复计数。练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法 (C5C4C4/A2) 名学13生8分4成23组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同 一组,有多少种不同的分组方法 (1540)3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到 该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( C2C2A2/ A2 = 90 )十三.合理分类与分步策略4 2 6