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1、二、多自由度弹簧系统:“1f 35W2图1弹簧一质量一阻尼振动系统首先列运动方程：根据平衡条件可得到：Fl = kg + k6u - k6u3 + k4u - k4u2二（Zq + fc6 + fc4i 一 33 一 k4u2p2 = kg - k4u + k2u2 + ksu2 一 ksu3二（上4 + *2 + 上5 ）2 31 - kSU3p3 = kg - kg + ksu3 - ksu2 + k3u3二伙6 + 他 + k3）u3 - k6ur - ksu2上面式子中Fi、F2. F3分别为质量块m2 m3所表示的节点的 内力。于是得到刚度矩阵：ki + /C4一呛一*6K =圮4“
2、4 + *2 + 层血*6 + *5 + 也列出运动万程MX + CX + KX = 02-11000.1003-2-1其中M =040,C =00.40,K =-212-2001.000.1.-1-23 .因为C=l/10M,属于比例阻尼，所以可以用实模态理论进行分析。分析系统频率：无阻尼情形：MX + KX = 02-2利用特征方程|K - o?m|二0求得无阻尼系统的固有频率为:4-221-213得知系统存在重频现象。有阻尼情形：利用特征方程|M +入C +K = 0求得系统的复频率，结果如下:右=-0.0500 + 0.9987iX2 = -0.0500-0.9987/久3 = -0.
3、0500+ 1.9994/A4 = -0.0500- 1.9994/As = -0.0500 + 1.9994iA6 = -0.0500- 1.9994/K-a）2M（/）=02-3将3分别代入上式，解得上述方程三个特征向量分别为0! = -0.5774 -0.2887 0.5774卩02 = 0.1870-0.3909 05948卩03 = 0.7948-0.1177 -0.55947由于后两个特征向量对应的特征值相同，所以02、03关于M不正交。导数计算:dMdk40 0 0dK0 10,=.0 0 0_dm2000000_000 1-1.0000dMdm2dK巫000-110000.00
4、0.根据式7. 23a,do)?dx将s? = i代入，求得 泌=0.0833,0.0833dm20花4对于02、加作以下处理：利用式7.37和7.389 mn911912121922-，912 = 021dK-0Mdx-叱.张）叽5G林$ 11=1,2)对的导数:将。2、03代入得-0.6112-0.1840-0.1840-0.0554求得特征值分别为-0.6666和0,与之对应的特征向量分别为-0.95750.2883卩、0.28830.9575卩2233-0.6666,痙.=0dm2相应的主振型可求得为$2 = -0.9575（/）2 一 0.288303 = -0.4082 0.408
5、2 0.4082卩馮=0.288302 一 0.957503 = -0.7071 0 0.70717对呛的导数同样的得到c ro.3340 0.52731L0.5273 0.832 力求得特征值分别为0.0001和1.1666,与之对应的特征向量分别为-0.8448 05350卩、0.53500.8448卩-23 - 43 T3 - 3O-2竺血 是 于相应的主振型可求得为02 = 0.844802 + 0.535003 = 0.26720.26730.8018 卩03 = 0.535002 0.844803 = 0.5714-0.1097 07908卩整理有:da）i _31112九2din
6、?83381112-0.0417, = 0.0417ok=-0.1667,泸=0 ak4=0,込= 0.2917弘4模态阻尼率公式: 丫 灵 C（pt92&）i24ai _（20?C警+於薯加）25-20?C4警 dx （2。）2dx2-5根据公式 7.25、7.26、7.28（j二1, 2, ，N； jH j）八1 TdM对m2的导数:代入得C = -0.0417-0.0393 0r;警=.Cl = 0.0401 -0.0040 0.040 lr-0.00210& _(2曲C誥+曲釜九)2心一 2曲C九船 顾(2) 2对上4的导数:代入得cx = 0 -9.6233e-06 -0.0444;
7、警 = 5 = 0.0254 0.0049 0.0351 卩些dk4=-0.0021粘性阻尼情形下:爭I = 0.1655 -0.3305i - 0.0414 + 0.082& - 0.0828+ 0.1653ir(p2 = 0.1655 + 0.3305Z 一 0.0414 一 0.0826i 一 0.0828一 0.1653ir导数计算：利用式7. 73dAt _ 入Pi战5 +入忘5 + 5灵5 dx2 入尿 Mg + (pf Cep：求出丁丄=0. 0021 - dm2牛=0. 0000 + dk4可以发现:0.02071 异=0.0021 + 0.0207idm20- 5214i= 0.0000 - 0.52141(l)前两阶固有频率关于m2的灵敏度为负，第三阶固有频率关于m2的灵敏度为0,说明增加nt?会降低前两阶频率，而 对第三阶频率没有影响，前两阶频率会降低是显而易见的，质量增加, 固有频率降低，第三阶频率不变是因为nt?对于对应的主振型没有影 响，也就是说m2对于第三阶模态没有影响，从结果推，这是合理的；(2) 一、三阶固有频率关于耗的灵敏度为正，灯增加时，相当 于质量块m】、m2构成的系统刚度增加，可以知道系统固有频率是会 增加的，二阶主模态中nt?变形是相同的，可以知道灯的大小是 不影响它的，所以二阶频率关于薦的灵敏度为0。
