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1、二次函数的最值问题一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得对称轴方程 当时，抛物线开口向上 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若 当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 二次函数的最值问题二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置
2、关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定例1. （2002年上海）已知函数，当时，求函数f(x)的最大值与最小值。2. 轴定区间动例2. （2002年全国）设a为实数，函数，求f(x)的最小值。3. 轴动区间定评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。例3求函数在上的最大值。4. 轴变区间变例4. 已知，求的最小值。（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例5. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。
3、例6. 已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。练习：1、已知二次函数满足条件及（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值2、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。3、已知函数的最大值为，求的值 二次函数的最值问题讲义参考答案例1.解析：时， 所以时，时，.例2.（1）当时，若，则;若，则（2）当时，若，则;；若，则综上所述，当时，；当时，；当时，。例3解析：函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3） 时；由图可知；即例4.解析：将代入u中，得，即时，即时，所以例5. 解析：（1）若，不合题意。（2）若则由，得（3）若时，
4、则由，得综上知或例6.解析1：讨论对称轴中1与的位置关系。若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，解析2：由，知，则，f(x)在上递增。所以解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。练习答案：1、解：（1）设，由，可知 故由得，因而， 所以（2） ，所以当时，的最小值为当时，的最大值为2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴为，且故不合题意；（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；（3）若，得，经检验，符合题意。综上，或利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、解：分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或
