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1、四边形中“新定义”型试题探究浙江省象山县丹城中学 王赛英 徐敏贤 邮编 315700所谓“新定义”型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力.给“什么”，用“什么”，是 “新定义”型试题解题的基本思路.以四边形为背景的几何 “新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能.求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质,把握图形的变化规律. 一、以特殊点为契机进行 “新定义”图1例1 （2007年宁波市中考数学试题）四边
2、形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点 (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图,保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDF=CBE，CE=CF求证：点P是四边形ABCD的准等距点图3(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形
3、的特征及准等距点的个数，不必证明)图4图2解:（1）如图2，连结AC,在AC上任取除AC中点外的点P,点P即为所画点（2）如图3，连结BD,作BD的中垂线交直线AC于点P,因点P不是AC的中点,故点P即为所求作点 （3）如图4，连结DB，在DCF与BCE中，CDF=CBE， DCF=BCE，CF=CE.DCFBCE(AAS)，CD=CB, CDB=CBD, PDB=PBD， PD=PB， PAPC, 点P是四边形ABCD的准等距点.（4）当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为0个；四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个当
4、四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为0个；当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个.评析：本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念四边形的准等距点.第（1）小题是新定义的简单应用.第（2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、1、2、无数个.第（3）小题，
5、常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第（4）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在（1）、（2）两小题解决后累积的经验，为第（4）小题解决铺设了平台，尤其是第（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于是，类比、联想能力强,思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类.二、以特殊边为契机边进行 “新定义”例2 （2007年北京市中考数学试题）我们知道：有两条边相等的三
6、角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形. 图5（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD、BE相交于点O，若A=60，DCB=EBC=A. 请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且DCB=EBC=A.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：（1）平行四边形、等腰梯形等.（2）答：与A相等的角是BOD（或COE）.四边形DBCE是等对边四边形.（3
7、）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.证明：如图5，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点，F=900=EGC. ，BC为公共边，. BF=CG.BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A， BDF=BEC，又F=EGC， ，BD=CE，四边形DBCE是等对边四边形.评析：此题以一组对边相等关系为契机，创设了一个全新的概念等对边四边形.语言精练,设问流畅，层次感强.解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力. 第（1）小题是新定义的简单应用.第（2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而第二问，易得猜想：BD=CE，四边形DBCE为等对边四边形，但凭直
8、角得到的猜想不一定可靠，为此大多数考生会设法证明自己的猜想.由公共边BC,DCB=EBC=A=30,BOD=COE=60这些条件及要证的猜想BD=CE，不难想到添辅助线的方法：分别过点B、C作CD、BE的垂线,从而证明自己的猜想.第（3）小题完全可类比第（2）小题的第二问进行，先证，再证得，继而使问题获得解决；当然，第（3）小题，也可作HCB=DBC交BE于点H，构造全等三角形BDC与CHB ，得BD=CH，再证CH=CE，也可使问题获得解决.三、以特殊角为契机进行 “新定义”例3（2006年安徽省中考数学试题）如图6，凸四边形 ABCD中，如果点P 满足APD APB =.且BPCCPD ，
9、则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点 ( l ）在图7正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足.( 2 ）在图8四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） . 图8图7 ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图9 ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 .图6图9B 解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即可.（2）画点B关于AC的对称点B，延长D B交AC于点P，点P即为所求的点.（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意,A P1D=A P1B， D P1C=B P1C，A P1B+
10、B P1C=1800, P1在AC上，同理，P2也在AC上. 在D P1 P2和BP1 P2中D P1 P2=B P1 P2，D P2 P1=B P2P1，P1 P2= P1 P2，D P1 P2BP1 P2，P1D=P1B，P2D=P2B，B、D关于AC对称.设P是P1 P上任一点，连结PD、PB，由对称性，得DPA =BPA，DPC=BPC，点P是四边形的半等角点.评析：此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量、位置关系为契机, 创设了一个全新的概念四边形半等角点.第（1）小题是新定义的直接应用.第（2）小题，语言简洁、精练，看似平淡，实则蕴涵丰富的思维内涵, 突出考查了学生灵活运用基础知识解
11、决问题的能力.通过分析，发现所求作的点在对角线AC上，且DPA =BPA，但要画出点P仍不容易；继续分析，发现DPB关于直线AC对称，点B关于AC的对称点B在DP上，至此，才峰回路转，柳暗花明.第（3）小题要证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点，需先证A、P1 、P2、B四点在一直线上，再证线段P1 P2上任一点满足条件DPA =BPA，DPC=BPC，从而使问题获证，此小题对思维的严密性提出了较高的要求.四、以特殊对角线为契机进行 “新定义”例4 (2006年北京市中考数学试题)我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形请解答下列问题：（1）写出你所
12、学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论解：（1）矩形、等腰梯形.（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时,这对600角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长ADEFCBO图11已知：四边形中，对角线，交于点，且ADEFCBO图1图10求证：证明：过点作，在上截取，使连结， ，四边形是平行四边形，；又，DE = AC =BD，EDO=600, 是等边三角形， 当与在同一条直线上时（如图10），则，当与不在同一条直线上时（如图11），在中，有
13、，综合、，得即等对角线四边形中两条对角线所夹角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长评析：此题以对角线之间满足相等关系为契机，创设了一个全新的概念等对角线四边形.第（1）小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况.第（2）小题，语言精练, 构思精巧，涉及的知识点不多，但思维含量及高.着重考查学生观察力、分析能力、逻辑推理能力.好多考生面对此题，犹如“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路” .解决此题，可就其特殊情形入手，即当此等对角线四边形为梯形时先研究，不难想到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点，从而使特殊情形时问题获证；对于一般情
14、形，则可类比特殊情形的方法，使问题得到解决.五、以特殊位置关系为契机进行 “新定义”例5 （ 2005年资阳市中考数学试题）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图12所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”. 显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图13，若ABC为直角三角形，且C=90，在图13中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；图1
15、2图13图14(3) 若ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图14中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.解： (1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. (2) 此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍， ABC的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 . 证明：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为l1，l2
