《第三章行列式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章行列式（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 行列式教学目的 熟练应用行列式的性质计算行列式；正确理解余子式和代数余 子式概念；利用克拉默规则讨论和求解线性方程组 教学内容及学时分配 线性方程组与行列式（1 学时）；排列（2 学时）；n 阶行列式（6 学时）；行列式的展开（6 学时）；克拉默规则（3 学时）；习题课（2 学时）;。 教学重点 熟练应用行列式的性质计算行列式 教学难点 证明和讨论行列式的性质 教学方法与手段 讲授、问答、讨论、辅以多媒体教学 3.1 线性方程组与行列式 教学目的 了解引入二阶行列式和三阶行列式在解线性方程组中的应用教学重点 知道引入二阶行列式和三阶行列式的意义 教学难点 二阶行列式和三阶行列式的概念
2、教学过程 在中学代数中学过，对于二元线性方程组 ,当二阶行列式 时，该方程组有唯一解，即 ， 对于三元线性方程组 ， ， 当 时，该方程组有唯一解，即， ， ，在这一章我们把这个结论推广到n元线性方程组 的情形。为此，我们首先给出级行列式的定义并讨论它的性质。3.2 排列 教学目的 理解掌握排列、反序、反序数的求法 教学重点 反序数的求法 教学难点 理解反序数的概念 教学过程 定义 1 由1,2,., n 组成的一个有序数组称为一个级排列 例 2431是一个 4 级排列，45321 是一个 5 级排列 显然， n 级排列的总数是 n(n -1)(n - 2).21 我们记 1 2 (n -1)
3、n = n! 读为 n 阶乘。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的 数大于后面的数，那么它们就称为一个反序。一个排列中反序的个数称为这个排 列的反序数。 例 2431 中，21，43，41，31 是反序，2431 的反序数是 4。45321 的反序 数为 9。 排列 的反序数记为。 定义 3 反序数为偶数的排列称为偶排列，反序数为奇数的排列称为奇排列 例如 2431 为偶排列，45321 为奇排列。 定义 把一个排列中两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排 列。这样的一个变换称为对换。 定理 3.2.1 对换改变排列的奇偶性。 推论 奇数次对换改变排
4、列的奇偶性，偶数次不改变排列的奇偶性 定理 3.2.2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列的对换互 变，并且所做的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。 作业 P 110 1.(3) 2 3.3 n 阶行列式 教学目的 理解掌握行列式的定义与简单性质,熟练计算行列式 教学重点 理解掌握行列式的定义与性质 教学难点 n 阶行列式的定义，行列式性质的证明 教学过程 在给出 n 级行列式的定义之前，先看一下二级行列式与三级行列式的定义 它们都是一些乘积的和，而每一个乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成。 定义 4 n 级行列
5、式 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 的代数和，这里是的一个排列，每一项都下列规则带符号，当时偶排列时，带正号，当是奇排列时，带负号，这一定义可以写成 这里，表示对所有打的n级排列求和。显然，n级行列式是有由n项组成。例1 计算行列式 解 由定义知 引理3.3.1 从n阶行列式的第行和第列取出元素作乘积 ,这里和都是这n个数码的排列.那么这一项在行列式中的符号是， ， .命题3.3.1 行列互换，行列式不变，即 命题3.3.2 ,命题3.3.3 命题3.3.4 如果行列式有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行对应的元素相同。命题3.3.5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为
6、零。命题3.3.6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。命题3.3.7 对换行列式中两行的位置，行列式变号。例3 计算行列式 解 经过一些列初等行变化换可得 作业 5.7.8 3.4 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开教学目的 理解掌握余子式，代数余子式概念，利用行列式按一行展开求 行列式 教学重点 行列式按一行展开求行列式 教学难点 行列式按一行展开的证明 教学过程 定义 1 在行列式 中划去元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列，剩下的 (n -1) 个元素按原来的排法构成一 个 n -1阶的行列式 称为元素的余子式，记为 可以证明 定义 2 上面的 A ij 称为元素 a ij
7、 的代数余子式。 定义 2 上面的称为元素的代数余子式。则，反过来，如果令第行的元素等于第行的元素，也就是 也就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零。 定理3.4.1 设 定义 2 上面的 A ij 称为元素 a ij 的代数余子式。 表示元素的代数余子式，例1 计算行列式 解 先按第5例，再按第1例展开可得 例2 行列式 称为n阶范德蒙(Vandermonde)行列式，我们来证明，对任意的n阶范德蒙等于，这n个数的所有可能的差的乘积。 用连乘号，这个结果可以写成为 作业 P 134 2.(4),(5) 33.5 克拉默规则 教学目的 理解掌握克拉默规则， 利用克拉默规则解线性方程组 教学重点 利用克拉默规则解线性方程组 教学难点 利用克拉默规则解线性方程组 教学过程 定理 3.5.1 如果线性方程组 的系数行列式 那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 , , , 其中D是把矩阵D的第j列换成方程组的常数项所成矩阵的行列式，即 ，定理中包含着三个结论1. 方程组有解2. 解是唯一的3. 解由上述公式给出定理 3.5.1 通常称为克拉默规则 例 1 解方程组 解 方程组有唯一解， 作业 P 140 1. 3.
