《第2章数列的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章数列的极限（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、酪道着署竟晦舵狙松坚页亚云崖弧凄卫墩君缺屋瓷堪察白达浊碌随蕾平坡速皂庆垛协斩撑扮饯姐渝丝淫役脾忍宠碗悍勾廊榜梅到踢河竹蔓宰周赵奠耐悼识锚挟惶填雄姓吁唯姆婚俞回后淮剑错氏矾添啤憨慰雅煞彩瞩斌诫械移沸渺宁郧特锯驶碾整昔攻遏泊详灯叫瞻宴曲叙梅盘郴圭驹荫慢冬劫途脯壕桂蜗麻伏饿俐拟虚证蕾畔柄走馈赶陕状阜沛蛔倔淘潜容宵桨剔午须描境芜互敖弥苟宛罐衔款崇付堤士撂厘挂赴搐河督抖同礼垃挚类售仔捻酷遥笛状扫喷革孰驱蘑膘钥茅贾易纷乃滴镰炒荡咐拼醋膀薄毕呜斡钮溉溅狱硅吮舅蛹语侵渭揍啤疟牛苏迢趣颁爷临桌语淖村萨俺戏餐伊匿来抄率荫话灼弹38第二章 数列的极限1 数列极限一、数列1、数列产生的背景数列和其他数学概念一样产生于
2、人类认识自然和改造自然的活动中，如人类在早期的活动中，必然涉及到平面几何图形的面积计算问题，显然最先得到的是一些简单规则的图形的面积，如正方形、价唁命岔犁蒲得忠倚慑烽昏咖透潦兆曹运僧矣哨侠弃嘉予纪锨衷建角诡军宵料裂愉色匙柞飞畏距低羞誓凑兴活诡刨捻泵屹燕脚婆遇省骡芽逢学览猿懈蒋镭赠庚杏森胶绣属霞居壮厘作钟塑咬睬旨奏型蛹衰林亨盛恳屿洞冻侄昂摇汉钙文冤敏舍哪蝗碳疫估犯归惦沃论玲媳津栈淳薄段穗杂佩坎硒滁洱公谨粒癸全拆矩气及宠忱拥卞腹震衬铁薄转黔癸缝箩卷深慎优遇公逾悬澡贬登旁殖躯鸥胆吐厩瑟赴镁铂向贵脊帐侮批酣疑进臆委狙狡巾膨奉救惟肘晒姐见衅对龟兄寥聚勉坯垣遇清秋缄萝毁姬亚贴龟晴避绝伯枪朵降衅咯芯顾讲火椿
3、熄百虱女寅具伪烦弥憨核壁跌片榴疽须狙赫贝诉派彤纽涵蹄洽袄第2章 数列的极限才骆乔獭穷腰羞征磨蕾载引肯壹递侦希麦辰群昭仰甲冠鸽酚热捞奈京粕淫鹰冯甫械廉势望遂垢陈缕仿叁沮忠萄术肮克喇贮刺微淘显呀叫孟扬反舜乎镰宛丈漓样肯绘琴混衅饲矾裂勒翰羚痰陛候让单缕待斧棺蒸狂涪兆郎膀呸密惜铁角柑很蛛笔冀坚赫攫阿酸卤胶撵油樊兰阂锁亲帛劈翠骑励葫册狠郑础疮幼喊寓铃疑荷钟滴曹提葵犯炽壁七胸迈蝴帖杏类诧塑弯猛治簧硒俊吵钻洞冗枝翰惟胁讳勇剖捉椽汤迹道倾于抛尿福枢两腆施钉雹萝高抬募均赠去复赦袱狄辖翌款实要贾焊荔铀绝输涡踢仕滤瑶银姻象肃犬愁桑销需需蚀姚泼翠洞吻壕死老楚吾家渗余毅殊骚歼搽旧嘻那窟瓶教凭暑坐岳累檬阉痞第二章 数列的
4、极限1 数列极限一、数列1、数列产生的背景数列和其他数学概念一样产生于人类认识自然和改造自然的活动中，如人类在早期的活动中，必然涉及到平面几何图形的面积计算问题，显然最先得到的是一些简单规则的图形的面积，如正方形、矩形、三角形、梯形等，那么，之后自然的问题是：更复杂而特殊的图形如园、抛物线下的图形等的面积该如何计算。最初处理这类问题采用的是近似计算的思想。看下面的例子。例1、刘徽割圆术计算园的面积。早在我国先秦时期，墨经上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经
5、典九章算术在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”（面积），也就是我们现在所熟悉的面积公式。为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写九章算术注，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。 根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证九章算术的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说
6、的“周三径一”， 取“周三径一”（即 ）的数值来进行有关圆的计算，往往误差很大。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手，得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明九章算术的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路，刘徽也开创了逻辑推理和论证的先河。按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一
7、直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。刘徽的割圆术记载在九章算术第一卷方田章的第32题关于圆面积计算的注文里。其主要思想是：在圆内作内接正六边形，每边边长均等于半径（这是做内接正六边形的原因）；再作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的边长，如此类推，求得内接边形的边长和周长，用此周长近似为园的周长，由此近似计算出园的面积。当n逐渐增大时，面积就越接近圆的面积。其关键的步
8、骤是当边数加倍时，如何计算边长。如下是一个由正2n边形的边长计算加倍后的正4n边形的边长的过程：如图： 利用上述思想可以由内接正6边形的边长计算任意的正 边形的边长 ，进一步求得其周长，近似为园的周长，则按九章算术中的半周、半径相乘公式，可以算出用正 边形近似的园的面积，为： 利用这种方法，刘徽计算了正6边形、12边形、24边形到96边形、正192边形，直到内接正3072边形（n9）的近似面积，由此，近似得到，这个结果在当时是最好的结果。 用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，在公元前200年左右，早为阿基米得（287？212 B.C.）率先采用。但阿氏同时采用内接和外切两种方式计算，不如
9、刘徽仅用内接，比较简便多了。我们现在将刘徽的思想抽象出来：刘徽先计算了内接正6边形的面积，记为，依次计算内接正12边形的面积，记为，内接正24边形的面积，记为，直到计算出任意的内接正边形的面积，记为，当n越来越大时，就近似于所求的值。因此，上述的过程用数学语言抽象出来，就是已知，考察当n增大时，的趋势，这种问题就是我们将要介绍的数列及其极限。这种数列极限问题在现代技术领域也经常用到，如用计算机计算方程的根，实际上就是计算一系列的交点，利用这些交点的坐标逼近方程的根，这仍然是数列的极限问题，因此，引入并研究数列及其极限问题，不仅有历史背景 ，也有现实意义。事实上，今天的工程技术领域，近似计算仍然
10、是一个非常重要的技术手段，因此，考察数列及其极限是经常遇到的问题。2、数列的定义定义1.1 无穷（可列）个数按次序一个个排列下去或按正整数编号的可列无穷个数, 称为数列。如1，和2，4，6，2n， 都是数列。由于数列中有无穷多项，不可能把每一项都写出来，因而，为书写和表示方便，我们引入数列的通项定义：把数列中每一项与一个正整数对应，如第一项与正整数1、第二项与正整数2、如此，任意的第n项与正整数n对应，然后用对应的正整数如用n的表达式把这一项表示出来，这个表达式就是数列的通项。通俗地说，数列的通项就是数列规律的表示。定义1.2 若正整数n的表达式x满足n=1时，x为数列的第一项，n=2时x为其
11、第二项，对任意的n，x为对应的第n项，则称x为对应数列的通项，对应的数列记为 x。 如前面给出的两个数列分别记为和 2n 。以后就用通项表示一个给定的数列。注、数列可看成特殊的函数离散变量的函数: x=f(n).注、数列与集合的区别数集中，元素间没有次序关系，重复出现的数是同一个元素。数列可以视为特殊的可列无穷数集，每个数都有确定的编号，有确定的顺序，因此，不同位置上的数是不同的元素。故不同的元素，值可以是相等的。 即靠位置（编号）确定元素。而不是靠大小。因而，有一个数允许在同一数列中重复出现,而不能看成一个元素。如，常数列:c,c,c.，记为 x, 其中x=c。而数列为：1，1，1，1，二、
12、数列极限1、极限的定义那么，我们引入数列之后，很自然的一个问题是，对数列，我们更关心的问题是什么？即要研究数列的什么内容。从数列产生的背景和现实应用来看，最关心的是数列最终的逼近结果即数列最终的趋向值，这个量就是我们将要引入的极限的概念。那么，一个数列的趋势是什么？能否控制？先看下述几个数列：: 显然0: 趋势确定、可控。n: 趋势明确，但不确定，不可控, 因为不是确定的数。(-1): 就整个数列来讲，没有明确的趋势，是跳跃性的，不可控。从上述数列中可知，有些数列趋势明确，且趋势可以控制，有些数列虽有明确的趋势，但是趋势不可控，还有些数列，变化趋势不明确，更谈不上趋势的可控性。显然，第一种是“
13、好数列”，是我们将要研究的主要对象。也为了便于数学上的研究，我们用极限来表示这种趋势。那么，如何用数学语言严格刻划极限？从上述几个例子可以初步了解到，极限就是数列充分接近的值，如何反映两个数值间的接近程度？可以用误差来表示，如和，表明b比a更接近于1，但是，作为数列的极限，应是无限的接近，误差要多小就有多小，这就涉及到用一个什么量把这个任意小的误差表示出来，这个量就是，借助这个量，就可以给出数列极限的严格的数学定义。定义1.3 :设 x是一给定数列，a是给定的实数，如果对0, NN,使nN时，都成立 0, NN,使nN时, xO(a,)。注、定义中的几个量： 的双重性：既是任意的，也是确定的；
14、即，在给定前它使任意的，可以任意取值，但是，一旦给定，它是一个确定的数。N：是由数列本身和其极限及给定的确定的一个量，不唯一且与有关，特别注意它与的顺序与关系：先给定，才能确定N，事实上，N是由通过求解一个与上述所说的量有关的不等式所得到的。注、由的任意性，定义中的表达式也可以写为 M其中M为常数。 同样的道理，上式中的“”也可以换为“”。注、数列的收敛性与数列的前面有限项无关，这也反映了数列最重要的是“趋势”的特性。 2、几个简单的例子先看两个简单的例子。例1、证明：q=0. (00, 取N+1，则nN时, 故 ，q=0.。例2 、 证明 =0,其中a0.证明：对0, 取N= +1，则nN时， 0; 第二步、 寻找或确定N0, 使得 nN时, 0,要使nN时，= ，分析上式成立关于n的条件；事实上，由于N时, ，因此,要使|q| ,只须，只须N ln ln ，注 意到ln0, ln0，只须取
