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1、111213一、比例1、比例的基本性质:a c1）ad bc,这一性质称为比例的基本性质，由它可推出许多比例形式b d2)a -(反比定理); b d a ca3)bcdacb(或dc-）（更比定理）;adbacabcd4)（合比定理）;bdbdacabcd5)（分比定理）;bdbdacabcd6)（合分比定理）;bdabcdacma cm a “亠7)-(bdn )（等比定理）bdnb dn b2、比例中项:若a :b b :c则b叫做a,c的比例中项3、如图，设三条平行线h / J / I3，则些 DE 此定理BC EF称为平行线分线段成比例定理，它的逆定理仍然成立二、平行线分线段成比例定
2、理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果11 / 12 / 13 ，则BCACEF ABDF， ACDE ABDF， DEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE / BC，则ADAE111 21 3AB AC BCAAD AE DE3.平行的判定定理：如上图，如果有 AD 竺，那么DE / BC 。AB AC BC的“畦重、难点重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容 难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用 关键：掌握好与相似的过渡gUdlki板块一、比例的基本性质【例1】已知：- ，求证：ab cd是a2 c2和
3、b2 d2的比例中项。b d【例2】已知：xyz 亠x。求y3z2343xy【例3】设-ce1a则cebdf则4bdf板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例4】如图，DE / BC，且DB AE,若AB 5, AC 10,求AE的长。A【例5】如图，在梯形 ABCD中，AB / CD , AB 12, CD 9，过对角线交点 O作EF / CD交AD , BC于E , F，求EF的长。【例6】如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AD a, BC b , E , F分别是AD , BC的中点， AF交BE于P , CE交DF于Q，求PQ的长。C板块三、定理及推论与中点有关的
4、问题【例7】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在 ABC中，M是AC的中点,E是AB上一点，且 AE1 AB，连接EM并延长，交BC的延4长线于D，则BCCDAF的值为（）D.2（2）如图（2），已知 ABC 中，AE : EB 1:3，BD : DC 2:1，AD 与 CE 相交于 F，则兰FC5A.B.1 C.2【例8】（2001年河北省中考试题）如图，在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O (1)当AE AC1时，求A0的值；2AD(2)当AE1 1养 、一时，求A0的值；AC3 4AD(3)试猜想AE1一时A的值，并证明你的猜想AC n
5、1 AD【例9】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是 ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交占八、-（1） 如果E是AD的中点，求证：匚-；FC 2AF 1 AE（2） 由（1）知，当E是AD中点时，成立，若E是AD上任意一点（E与A、D不重合），上述FC 2 ED结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由【例10】如图，已知 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且 BE AC，延长BE交AC于F。 求证：AF EF 。A【例11】（宁德市中考题）如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P。若 AD 2DE，求证：A
6、P 3AB。AE_ _ 一 一 1【例12】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，ABC中，BC a ,若D, , E,分别是AB , AC的中点_a ；21 a 3右D2、E2分别是Di B、E1C的中点，贝U D2E2 22 a 4 a ；1 37若D3、E3分别是D2B、E2C的中点，贝y D3E3a a a ；2 48若Q、En分别是Dn_1B耳C的中点，贝U.板块四、利用平行线转化比例111 【例 13】如图，已知 AB/EF/CD，若 AB a , CD b , EF c,求证：一 一 .cab【例14】（黄冈市中考题）如上图，AB BD , CDBD ,垂足分别为 B、D , AC
7、和BD相交于点E , EFBD ,垂足为F .证明:1AB1CD1EF【例15】如图，找出S abd、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论【例16】如图，在四边形 ABCD中，AC与BD相交于点0，直线I平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和P.求证：PM PN PR PS【例17】已知，如图，四边形ABCD ,两组对边延长后交于 证：EG GF.E、F ,对角线BD II EF , AC的延长线交 EF于G 求【例18】 已知：P为 ABC的中位线MN上任意一点,求证：AD AB iDC EBBP、CP的延长线分别交对边 AC、AB于D
8、、E ,【例19】在 ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分,BM是AC上的中线， AE、AF分别交BM于G、H 两点，求证： BG:GH : HM 5:3: 2【例20】 如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BM MN NC，一条平行于AC的直线分别交 AB、AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF 3DE .ADMF【例21】 已知：如图，在梯形 ABCD中，AB/CD , M是AB的中点，分别连接 AC、BD、MD、MC，且 AC与MD交于点E , DB与MC交于F .(1) 求证：EF /CD(2) 若 AB a , CD b，求 EF 的长.DE，连接0E交BC于点
9、F，若【例22】如图，在梯形 ABCD中，AD / BC ,AD 3 , BC 9, AB 6 , CD 4，若EF / BC，且梯形 AEFD与梯形EBCF的周长相等，求 EF的长。【例23】 如图，YABCD的对角线相交于点 0,在AB的延长线上任取一点AB a , AD c, BE b ,求 BF 的值。【例24】已知等腰直角 ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE CD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边 AB于L , K .求证：BL LK .【例25】如已知DE / AB , 0A2OC OE，求证:AD / BC .C【例26】在 ABC中，BD CE , DE的延长线交 BC的延长线于 P，求证：AD BP AE CP.【例27】 如图，在相交于P，求证：兰CPAE，直线DE和BC的延长线ABC的边AB上取一点 D，在AC取一点E，使 ADBDCE【例28】已知，在 ABC中，AD、BE、CF为其三条高线,PK AB，G、H、K 为垂足，求证：PGPK i.AD BE CFP为此三角形内一点，且PG BC， PH AC，
