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1、外接球问题处理老师专用1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，则球的表面积为( )A.B.C.D.解析:如图所示，为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.B.C.D.设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大
2、值为，则球的表面积为( )A.B.C.D.解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，球的半径，该几何体外接球的表面积为5、已知都在半径为的球面上，且，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）A.B.C.D.解析，圆心在平面的射影为的中点，当线段为截面圆的直径时，面积最小，截面面积的最小值为.6、四棱锥的所有顶点
3、都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（ ）A.B.C. D解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，于是,，进而球的体积. 故选.7、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.B.C.D.解析由题可知该三棱锥为一个棱
4、长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.8、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.B.C.D.解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.9、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为 ( )A.B.C.D.解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，解得：，外接球的表面积为. 答案
5、：D10.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（）ABCD【答案】C【解析】，故选C11.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是【答案】【解析】，12.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，由题设，最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，故答案为D13棱长分别为2、的长方体的外接球的表面积为（）ABCD【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题
6、意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为本题选择B选项14设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A12B28C44D60【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，外接球的表面积本题选择B选项15把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C16某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）
7、ABCD【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为a的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选C17三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，则球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，因此三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，故选D18如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】如图所示，连结，交点为，连
8、结，易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积本题选择D选项19已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】由余弦定理得：，设三角外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，又，解得：，则球的表面积本题选择D选项20已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，底面正方形的边长为，正四棱锥的体积为，则，在中由勾股定理可得：，解得，故选C
9、21如图，在中，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）ABCD【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，则面，四边形为直角梯形，由，及，得，外接球半径为，该球的表面积故选A22四面体中，则此四面体外接球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】由题意，中，可知是等边三角形，的外接圆半径，可得，可得，四面体高为设外接球，为球心，可得：，由解得：四面体外接球的表面积：故选A23将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】
10、B【解析】中，底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再由正弦定理得到，见图示：是球的弦，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径球的半径该球的表面积为；故选B24在三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】分别取，的中点，连接相应的线段，由条件，可知，与，都是等腰三角形，平面，同理，是与的公垂线，球心在上，推导出，可以证明为中点，球半径，外接球的表面积为故选D25棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_【答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，则外接球的半径，则外接
11、球的表面积为26已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为_【答案】【解析】设正四棱锥的棱长为，则，解得于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆，其中，设内切圆的半径为，由，得，即，解得，内切球的表面积为27已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，则此球的表面积等于_【答案】【解析】三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，设外接圆的半径为，则，外接球的半径为，球的表面积等于故答案为28在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积的最小值为_【答案】【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么，所以由题意，体积的最小值即为最小，所以当时，的最小值为，所以半径为，故体积的最小值为
