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1、排列与组合一、两个根本计数原理：排列与组合的根底1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有m种不同的方法，在第二类方法中有m 种不同的方法，在第n类方法中有m 种不同的方法，那 2n么完成这件事共有N = m + m HFm 种不同方法.12n2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有2nN = m xm xxm 种不同的方法.12n二、排列与组合1排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元
2、素的一个排列；排列数用符号Am表示n对排列定义的理解：1、定义中包括两个根本容：取出元素按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情 是“取出 m 个元素，再按顺序排列2、一样的排列：元素完全一样，并且元素的排列顺序完全一样。假设只有元素一样或局部 一样，而排列顺序不一样，都是不同的排列。比方 abc 与 acb 是两个不同的排列 描述排列的根本方法：树状图排列数公式：Am = n(n-l)(n-2)(n一m + l)(n,m e N*)我们把正整数由1到n的连乘 n积，叫做n的阶乘，用n!表示，即n!= nx(n-1)x(n-2)xx2xl，并规定0!二1。全排列数公式可写成An = n!.n
3、n!由此，排列数公式可以写成阶乘式：Am = n(n- 1)(n-2)(n-m +1)=主要用n( n - m )!于化简、证明等 排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法排除法、优先法、捆绑法、插空法、定 序问题除法处理1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法排除法：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不 符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。因此间接法又称排除法。3、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置。例题：由 0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于 50 万又不是5个倍数 的数有多少个？分别用直接法、优先法、间接法4、捆绑法
4、：在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整 体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的部排序，这种方法称为捆绑法，即“相邻元素捆 绑法例 2：3 名男生，4 名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？5、插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当， 也叫“不相邻元素插空法例 3：甲、乙等 6 人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？6、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的 全排列例 4:7 人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前不一定相邻，那么共有多少种不同的站法？(二)组合定义:一般地
5、，从n个不同元素中取出m(m n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；组合数用符号C m表示n对组合定义的理解：(1) 取出的 m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.(2) 只要两个组合中的元素完全一样，那么不管元素的顺序如何，都是一样的组合.只有当 两个组合中的元素不完全一样时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序，是排 列问题；没影响就是“无序，是组合问题。组合数公式：Am n(n l)(n 2)(n m +1)n!Cm = 二二(n, m e N *，且 m n)n Amm!m!(nm
6、)!mn!变式：Cm =nm!(n - m)!=n(n 一 D(n 一 2)(m +1)= Cn-m (n, m e N*,且m -,通常不直接计算Cm ,而改为计算Cn-m ,这样可以减少计算量n 2 n n 为了使这个公式在m = n时也成立，我们规定C0 = 1，这只是一个规定，并没有实际的n组合意义2、Cm = Cm + Cm-1n+1nn例：假设C3 = C3 + C4，那么n的值为nn -1n -1A.8B.7C.6D.不存在组合应用题主要解题方法：直接法、间接法排除法、隔板法1、直接法、间接法见上例：在 100 个零件中有 80个正品、20 个次品，从中任意选2 个进展检测，其中
7、至少有一个 次品的选法有多少种？2、隔板法：解决类似不定方程整数解的个数问题例：求方程 x + x + x + x = 10 的正整数解的组数变式：将组成篮球队的 10个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额的分配方式 有多少种？排列组合高考题一、选择题：1、（2021年高考全国卷理科7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，那么不同的赠送方法共有丨A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种2、2021年高考卷理科8某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲 必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙不能排在最后一位，该
8、台晚会节目演出顺 序的编排方案共有A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.78 种3、2021年高考全国卷I理科6某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有丨A. 30 种 B.35 种 C.42 种 D.48 种4、（2021年高考XX卷理科10）如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点第1CI题图涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。那么不同的涂色 方法共有A .288 种B.264 种C. 24 0 种D.168 种5、（2021年高考数学卷理科8现安排甲、乙、丙、丁、戊
9、5名同学参加世博会志愿者效劳活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有 一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，那么不同安排方案的种数是A. 152B. 126C. 90D. 546. （2021年高考卷理科7）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列数字也许重复 表示一个信息，不同排列表示不同信息，假设所用数字只有0和1,那么与信息0110至多 有两个对应位置上的数字一样的信息个数为A. 10B.11C.12D.157、2021年高考卷理科10由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻 的六位偶数的个数是丨A.72B.
10、96C.108D.1448、2021年高考卷理科48名学生和2位第师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数 为A. A8 A2b. A8C 2c. A8 A 2d. A&C 2898987879、（2021年高考全国2卷理数6将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6卡片放入3个不同的信封中假设每个信封放2,其中标号为1, 2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有 A.12 种B.18 种C.36 种D.54 种10、（2021年高考市理科9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每 人值班1天，假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月 7日，
11、那么不同的安排方案共有A. 504 种 B.960 种 C. 1008 种 D. 1108 种11、 2021卷理2021年亚运会组委会要从小、小、小、小罗、小王五名志愿者中选派 四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小和小只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有A. 36 种B. 12 种C. 18 种D. 48 种12、2021卷理用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为丨A. 324B. 328C. 360D. 64813、2021全国卷I理甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。假设从甲、乙两组中
12、各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有丨 A.150 种 B.180 种 C.300 种 D.345 种14、（2021卷理）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生， 且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为A.18 B.24 C.30 D.3615、2021全国卷U理甲、乙两人从4门课程中各选修2门。那么甲、乙所选的课程中至 少有1门不一样的选法共有A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种16、2021卷理从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中 男、女医生都有，那么不同的组队方案共有丨
13、A.70 种 B. 80 种 C. 100 种 D.140 种17、（2021卷理）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，那么甲、乙至少有1人入 选，而丙没有入选的不同选法的种数位丨A 85B 56C 49D 2818、2021卷理3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女 生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是丨A. 360B. 188C. 216D. 96二、填空题：1、（2021年高考卷理科12）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有个。2、2021年高考卷17有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重“立定跳“肺活 量
14、、“握力、“台阶五个工程的测试，每位同学上、下午各测试一个工程，且不 重复。假设上午不测“握力工程，下午不测“台阶工程，其余工程上下午都各测试 一人，那么不同的安排方式共有种。3、2021年高考卷理科14将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆效劳，不同的分配方案有种。4、2021卷理7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。假设每天安排3人，那么不同的安排方案共有种。5、2021XX卷理用数字0,1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的四位数，其中个位、 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个。6、2021卷理甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，假设每级台阶最多站2人，同 一级台阶上的人不区分站的位置，那么不同的站法种数是用数字作答。7、2021卷理将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同 的分配方案有种。
