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1、第5讲因式分解本讲重点：分解因式的意义，用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式9【考点链接】1分解因式：把一个多项式化成几个整式的的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2分解因式的方法：提公因式法：如果一个多项式的各项含有,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.运用公式法：平方差公式：a2-b2=,完全平方公式：a22abb2=,a2-2abb2=.3分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用分解.【典例探究】考点1分解因式的概念例1(教材习题变式题)下列各式由左
2、边到右边的变形中，是分解因式的为()2A、a(xy)二axayB、x-4x4=x(x-4)4C、10x2-5x=5x(2x-1)D、x2-163x=(x4)(x-4)3x解析A左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；B的右边整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式；C的左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；D的右边不是几个整式的积的形式只有C是分解因式，故选C.备考兵法本题都是要求正确理解分解因式的概念因式分解是指把一个多项式写成几个整式的积的形式，它与整式的乘法运算过程恰好相反考点2分解因式例2(教材习题变式
3、题)分解因式：33(1) xyxy;32(2) 3x18x+27x;2(3) (x1)x+1；3(4) 4(xy)2(yx)；222(5) (x+4)16x；(6) 3ab2+6a2b+3a3.解析(1)原式=xyxyx-y.(2) 原式=3xx3.(3) 原式=x-1x-2(4)原式=2(x_y2(2+x_y)(5) 原式=X-22x22.(6) 原式=3a(b2+2ab+a2)=3a(a+b)2.备考兵法(1)若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式；(2) 若一个多项式的两项都可化成两个单项式的平方，并且其符号是相反的，则这个多项式可以利用平方差公式分解因式；(3) 用完
4、全平方公式分解因式它与平方差公式不同之处是：要求多项式有三项其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.考点3因式分解的应用例3(1)(1)若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是()A.8B.16C.2D.422(2) 已知a+b+6a10b+34=0,求a+b的值.(3) 如果多项式2x3+x226x+k有一个因式是2x+1，求k的值.解析(1)解析：a2+2ab+b2=(a+b)2=42=16，选B.(2) a2+b2+6a10b+34=0,.a2+6a+9+b210b+25=0,(a+3)2+(b5)2=0,a+3=0且b5=0，a=3,b
5、=5,a+b=3+5=2.(3) T2x+1是2x+x26x+k的因式，令2x+1=0,x=令2x+1=0,x=2 2可设2x+x26x+k=(2x+1)R,(1(2门得2X_i+I26X_|+k=0,k=13.I2丿i2丿i2丿备考兵法1.利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值2. 一个问题有两个未知数，只有一个条件，考虑到已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0,从而使问题得以求解.3. 逆向思维，推出多项式分解后的几个因式，采用系数求等的方法列方程组求解，或者利用恒等变形的性质.卫【当堂过关】1. (2012安徽)下面
6、的多项式中，能因式分解的是()A.m2nB.A.m2nB.2m-m1C.D.m2-2m1解析根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解.m2-2m1=(m-1)2.答案D(2012恩施州)a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为()A.a2b(a2-6a+9)B.a2b(a-3)(a+3)2222C.b(a-3)D.ab(a-3)解析a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)=a2b(a3)答案D3. (2012上海)因式分解:解析xy-x=x(y-1).答案x(y-1)
7、4. (2012上海)因式分解:解析xy-x=x(y-1).答案x(y-1)xy-x=4. (2012成都)分解因式：x2-5x2解析x-5x=x(x-5).答案x(x-5)(2012四川广安)分解因式：3a2-12=.解析3a2-12=3(a+2)(a-2).答案3(a+2)(a-2)(2012广东)分解因式：2x-10x=.解析原式=2x(x-5)答案2x(x-5)(2012贵州安顺)分解因式：a3-a=.解析提公因式法与公式法的综合运用a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).答案a(a+1)(a-1)(2012六盘水)分解因式：2x+4x+2=222解析2x+4x+2=2(x+
8、2x+1)=2(x+1).答案2(x+1)2.9.(2012云南)分解因式：3x2-6x3二.222解析3x-6x3=3(x-2x1)=3(x-1).答案3(x-1)22210.(2012宿迁模拟)已知实数a、b满足ab=1,a+b=2,求代数式ab+ab的值.解：当ab=1,a+b=2时，原式=ab(a+b)=1x2=2.【浙江两年中考】(2012温州)把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是()A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a2)24解析直接提取公因式a即可：a24a=a(a4).答案A(2012台州)因式分解：mi仁.解析直接应用平方差公式即可：
9、m2-1=m1m-1.答案m1m-1(2012义乌)分解因式：x2-9=解析x2-9=(x+3)(x-3).答案(x+3)(x-3)(2012绍兴)分解因式：a3-a=解析a3-a=a(a2-1)=a(a1)(a-1).2(2012丽水)分解因式：2x8=.2x28=2(x24)解析先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解：=2(x+2)(x2).答案2(x+2)(x2)【命题趋势提醒】本节内容是初中数学的基础知识，是分式运算的基础，它通常以填空、选择题出现,这部分试题难度不大，主要考查学生对概念的理解以及方法的运用能力.【迎考精炼】一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共3
10、0分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分)2x-5x+6=(x-2)(x-3)2x-5x+6=(x+2)(x+3)1.(2012?齐宁)下列式子变形是因式分解的是(2A.x-5x+6=x(x-5)+6B.2C.(x-2)(x-3)=x-5x+6D.解析根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，答案B2即可作出判断.:.(2012南昌十五校联考)下列各式，分解因式正确的是(A.a222b=(ab)B.xyxzx=x(yz)C.x2x3=x31)x22D.a-2abb=(a-b)解析22a-2abb二(a-b)2正确.答案D23. (2012兴仁中学一模)A.y(x+2
11、)(x2)B2解析xy4y=y(x+2)(x2).答案A4. (2012眉山市模拟)把代数式mx2因式分解x2y4y的正确结果是(y(x+4)(x4)Cy(x4)2D.y(x2)-6mx9m分解因式，下列结果中正确的是(A.m(x3)2B.m(x3)(x-3)A.m(x3)2B.m(x3)(x-3)22C.m(x-4)D.m(x-3)解析mx2-6mx9m=m(x-3)2.解析mx2-6mx9m=m(x-3)2.答案D5. (2012天台模拟)下列是(A)x1(B)x125x17x-12分解因式后的一个因式的是(C)(D)x4解析5x17x-12=(x4)(5x3).答案C6. (2012泰安
12、模拟)下列等式不成立的是(B.m+4m=m(m4)22D.m+3m+9=(m3)A.m16=(m4)(m4)C.吊一8m16=(m-4)2解析ra+3m+9工（3）答案D（2012丽水模拟）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）22Ax+1B、x+2x122C、x+x+1Dx+4x+4解析根据完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2可得，选项ABC都不能用完全平方公式进行分解因式，Dx2+4x+4=（x+2）2.答案D（2012西城一模）因式分解x-1-9的结果是（）A.x2x-4B.x82解析x-1-9=x2x-4答案A（2012龙岩模拟）现定义运算”，对于任意实数a、b,都有ab=
13、a23a+b,如：3*5=333X3+5,若x2=6,则实数x的值是（）A.4或-1B.4或-1C.4或-2D.4或2解析依题意，原方程化为x23x+2=6，即x23x4=0,分解因式，得（x+1）（x4）=0,解得X1=1,X2=4.答案B（2012大庆模拟）已知a、b、c是厶ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则ABC的形状是（）A、等腰三角形BA、等腰三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,：a3b3a2b+ab2ac2+bc2=0,(a3a2b)+(ab2b3)(ac2-bc2)=0,
14、(ab)(a2+b2c2)=0,所以ab=0或a2+b2c2=0.所以a=b或a2+b2=c2.故厶ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.答案C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）（2012福州）分解因式：x-16=.解析x-16=（x+4）（x-4）.答案（x+4）（x-4）12.（2012湖南常德）分解因式：m2-n2=解析m2-n2二mnm-n2mmn=答案mnm-n13.（2012湘潭）因式分解:2解析m-mn=m（m-n）.答案m（m-n）.14.（2012陕西）分解因式:3223xy-2xy+xy=3223222解析Xy-2xy+xy=xy(x_2xy+y)=xy(x_y)2答案xyx-y(2012广州)分解因式：a3-8a=.解析a3-8a=a(a2-8)=a(a+2_：)(a-2：).答案a(a+2匚)(a-2匚)2215. (2012株
