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1、2023 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：此题总分值 42 分，每题 7 分1设二次函数 y = x2 + 2ax +a2的图象的顶点为 A ，与 x 轴的交点为 B, C .当 ABC 为等边三角2形时，其边长为A. 6 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 2 【答】C.由题设知 A(-a,-a2) .设 B(x ,0) ，
2、 C(x,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，那么212= 4a 2 - 4 a 2BC =| x - x2|= (x + x)2- 4x x2= 2a 2 .11212a 233又 AD =BC ，那么| -|=2a 2 ，解得 a 2 = 6 或 a 2= 0 舍去.222所以， ABC 的边长 BC =2a2= 2.32如图，在矩形ABCDBAD的平分线交BD于点EAB =1 CAE = 15，那么BE =中，32-1D.-1A.B.C.23AD23【答】D.E延长 AE 交 BC 于点 F ，过点 E 作 BC 的垂线，垂足为 H .由得 BAF = FAD = A
3、FB = HEF = 45， BF = AB = 1，BCHFEBH = ACB = 30 .设 BE = x ，那么 HF = HE =x， BH =3x.22因为 BF = BH + HF ，所以1 =3x+x，解得 x =-1.所以 BE =-1 .33223设 p, q 均为大于 3 的素数，那么使 p2 + 5 pq + 4q2 为完全平方数的素数对 ( p, q) 的个数为A.1B.2C.3D.4【答】B.2023 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 1 页共 10 页设 p2+5 pq +4q2= m2 m 为自然数，那么( p +2q)2+ pq = m2，即(m-p- 2
4、q)(m+p+ 2q) =pq.由于 p, q 为素数，且m+p+2qp,m+p+2qq，所以m-p-2q=1，m+p+2q=pq，从而 pq -2 p -4q -1=0，即( p -4)(q -2)=9，所以( p, q)=(5,11)或(7, 5).所以，满足条件的素数对 ( p, q) 的个数为2.4假设实数 a, b 满足 a - b = 2，(1 - a)2(1 + b)255-= 4 ，那么 a- b=abA.46B.64C.82D.128【答】C.(1 - a)2(1 + b)2由条件-= 4 得 a - b - 2a2 - 2b2 - 4ab + a3- b3 = 0 ，ba即
5、 (a - b) - 2(a - b)2+ 4ab + (a - b)(a - b)2 + 3ab = 0 ，又 a - b =2，所以2-24+4ab+24+3ab=0，解得ab=1.所以a2+b2=(a-b)2+2ab=6，a 3- b3=( a - b)( a - b)2+3ab=14， a5- b5=(a2+ b2)(a3- b3)- a2b2(a - b)=82.5对任意的整数x,y，定义xy=x+y-xy，那么使得(xy) z+(yz) x+(zx) y= 0 的整数组 (x, y, z) 的个数为A.1B.2C.3D.4【答】D.(x y) z= (x+y-xy) z= (x+y
6、-xy) +z- (x+y-xy)z=x+y+z-xy-yz-zx+xyz，由对称性，同样可得( y z) x=x+y+z-xy-yz-zx+xyz， (z x) y=x+y+z-xy-yz-zx+xyz.所以，由可得x + y + z - xy - yz - zx + xyz =0，即(x -1)( y -1)(z -1)= -1.所以， x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况： x -1 = 1, x -1 = 1,x -1 = -1,x -1 = -1,= 1,= -1, y -1 = 1,或 y -1 = -1,或 y -1或 y -1= 1,-1= -1,z -1 = -1,
7、z -1 = 1, z -1z所以， (x, y, z) = (2,2,0) 或 (2,0,2) 或 (0,2,2) 或 (0,0,0) ，故共有4个符合要求的整数组.2023 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 2 页共 10 页6设 M =1+1+1+ +1，那么1的整数局部是2023202320232050MA.60B.61C.62D.63【答】B.因为 M 202333=61335.又 M =(20231+20231+ +20301)+(20311+20321+ +20501)2030113 +20501 20 =832301345，所以M1832301345= 6111851345，故M1的整数局部为61.二、填空题：此题总分值 28 分，每题 7 分1如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CEAB于E，F为AD的中点，假设AEF=48，则 B =_【答】 84 .AF设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形.D由 AB / FG / DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点.又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故EHDFC = GFC = EFG = AEF = 48 .BCG所以 B = FGC =180 - 2 48 = 84 .
