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1、例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点， 又是近 几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题， 既考 查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面 的轨迹问题来处理的基本思想。一. 轨迹为点 例1已知平面| ，直线I ，点P l，平面，之间的距离为8,则在 内到P点的距离为10且到直线I的距离为9的点的轨迹是( )A .一个圆B.两条直线C.两个点D.四个点解析:设Q为内一动点，点P在内射影为0,过O, I的平面与的交线为I , PQ=10, 0Q= 102 82 6点Q在以0为圆心6为半径圆上，过Q作QM I于M，又点Q到直线
2、I的距离为9 QM=,92 82 .17则点Q在以I平行距离为-.17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点这样的点Q有四个，故答案选D。点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用 平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。二. 轨迹为线段例2.如图，正方体ABCD A1EGD1中，点P在侧面BCC1B1及其边界 上运动，并且总保持AP BD1，则动点P的轨迹是()。ri Ki，注二A.线段BiCB.线段BCiC. BBi中点与CCi中点连成的线段D. BC中点与BG中点连成的线段解：连结 AB1, AC, B1C，易知 AB1 A1BD1 所以 AB1 BD1, AC
3、 BD1,B1C BD1 , 所以BD1 面AB1C，若 P B1C，贝S AP 平面AB1C，于是BD1 AP，因 此动点P的轨迹是线段BiC。评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点 P的轨迹。例3 已知圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，0为底面 中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM MP , 则点P的轨迹是。形成的轨迹的长度为。解析:在平面SAB中，过M作AM的垂线交AB于C,在底面上，过 C作AB的垂线分别交底面圆于 D,E两点，则AM 面MDEQE即为 点P的轨迹，又 AO=1,MO= ,AM=弓,从而 AC# ,0C二弓,所以 de=2 132子所以填
4、上线段； 三. 轨迹为直线例4 （北京高考题）如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，过点B 作直线I与AB垂直，则直线I与平面 交点的轨迹是 （）Ba匕二FA .圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解析：由题意可知直线I的轨迹应是过点B且与AB垂直的平面，该 平面与平面交点为一条直线，故答案选C.四轨迹为圆弧 例5 如图，P是棱长为1的正方体ABCD ABiCP表面上的动点，且IX LAP二屁，则动点P的轨迹的长度为。 4：厂fJ解析:由已知AC=AB i=AD i;2 ,在面BCi,面AiCi, 面. DCi内分别有:A目BP=AiP=DP=1,所以动点P的轨迹是在面BCi,面AiCi,面
5、DCi内分 别以B,D,Ai为圆心，i为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度 和为3 3。五轨迹为平面例6不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面个数为()A.3B.4C.6D.7解析：以不共面的四个定点为顶点构造四面体，则满足条件的平面可分两类。第一类是中截面所在的平面有4个； 第二类是和一组对棱 平行且经过其它各棱中点的平面有3个， 故满足条件的平面 个数为 4 + 3 = 7 .故答案选D .评注：本题关键在于构造空间四边形，利用四面体的性质去求解。六.轨迹为圆例7,如图，三角形PAB所在的平面 和四边形ABCD所在的平面 垂直，且 AD ,BC , AD=4 , BC=8, A
6、B=6 , APD CPB，则点P在平面内的轨迹是()A .圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析：由条件易得 AD|BC，且 APD CPB , AD=4 , BC=8，可得 tan APD APA CB = tan CPB,即PB鬻2，在平面PAB内以AB所在的 直线为x轴，AB的中点0为坐标原点，建立直角坐标系，则2 2A （-3, 0）,B（3, 0），设 P（x,y）,则有幾 U 2，整理可得一v x 3 y个圆的方程即x2 y2 10x 9 0x 0。由于点P不在直线AB上，故 此轨迹为圆的一部分故答案选 A.点评:本题主要考查空间轨迹问题，是在立体几何
7、与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象能力，又考查了代数方法（坐标法）研究几何轨迹的基本思想。七轨迹为抛物线例8如图，正方体ABCD ABQQ的棱长为1，点M在棱AB上，且 AM= 1，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与3动点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是（）.A.圆B.抛物线C.双曲线D.直线分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。解：设PF AP于点F，过点P作PE AD于点E，连结EF，则AD 平面 PEF， AD EF，即 EF/AA1。因为 |PF |PM1，且 p
8、f|2 1 pf|2 |ef2 |pe2，所以I PE I PM。由抛物线定义知点P的轨 迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，故应选B.评注：从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面比立体简单，直线又比平面简单，这是复杂向简单的转化。八轨迹为椭圆例9,(浙江高考题)如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，若点PB在平面 内运动，使得 ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 ( )A .圆B.椭圆C. 一条直线D.两条平行直线解析:由题意可知ABP的面积为定值 点P到AB的距离也为定值,点P在空间中的轨迹应是以 AB为旋转轴的圆柱面，又点 P在平 面 内运动，所以动点P的轨迹应该是圆
9、柱面被平面 所截出的椭圆。 故答案选B。点评:本题主要考查轨迹问题，注意交轨法的应用九轨迹为双曲线 例10.(2010年重庆高考题)到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.直线解析：构造正方体模型，在边长为a的正方体ABCD AiBCiDi中，DC与AiDi是两条相互垂直的异面直线，平面 ABCD过直线DC且平行 于AiDi,以D为原点，分别以DA,DC为x轴,y轴建立平面直角坐标 系，设点P(x,y)在平面ABCD内且到DC与AiDi之间的距离相等，所以x Jy2 a2 , x2 y2 a2。故答案选C点
10、评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用 解析几何法求解，实现从立体几何到解析几何的过渡， 这里用解析几 何的知识解决立体几何中的计算问题，恰好是当今高考的命题方向。 本题考查立体几何，解析几何知识，考查学生的空间想象能力，灵活 运用知识解决问题的能力和创新意识， 构造正方体模型，简化了思维 难度。十.轨迹为球例11.如图，在棱长为6的正方体ABCD AiBiGDi中，长度为4的线段MN的一个端点N在DDi上运动，另一个端点M在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与其顶点D的正方体的三个面所围成的ABC几何体的体积是。解析:由ND 平面ABCD ND DM在Rt NDM中
11、，P为斜边MN的中点,则DP 1MN 2故点P的轨迹是以D为球心，2为半径的球面，与其顶点D的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体。因此23点评:本题主要考查空间想象能力和推理能力以及球的体积计算，确 定点P的轨迹是关键含两个变量的不等式化归和构造策略近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的 不等式证明问题，面对两个变量学生会感觉无从下手， 造成找不到解 题的突破点；下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策略。策略一：当两个变量可以分离时，根据其两边结构构造函数，利 用单调性证明不等式。例1 (2010年辽宁文科21)已知函数f(x) (a 1)1 nx ax2 1.(I
12、)讨论函数f(x)的单调性;(H)设a 2，证明：对任意xi,X2 (0,),| f (Xi) f(X2) | 4|xi X2 |。解：(I ) f(X)的定义域为(0,+ ), f (X) 口 2ax 2ax a 1 XX当a0时，f (x) 0,故f(x)在(0,+ )单调增加;当a 0; x (a 12a，+ )时，f(X) V 0,故 f(X)在(0,调增加，在(-一1 , + )单调减少.2a(II)不妨假设xi X2由于a 4X1 - 4X2 ,即 f(X2)+24X2 f(X1)+ 4X1.令 g(x)=f(x)+4x,贝卩 g (x)2ax +4 =型 4x a 1Xx于是 g
13、(x) 4x2 4x 1 0.从而g(x)在(0, + )单调减少，故g(xd g(x2).即f(xi)+ 4xi f(X2)+ 4x2 ,故 对任意 Xi,X2 (0,+),f (xi) f(X2)4xi X2 当 exe2 时，1 In x0,例2 (2009年辽宁理科21)已知函数 f(x)= -x2 ax+(a 1)lnx , a 1。 2(1)讨论函数f(x)的单调性；),X1 X 2，有(2)证明：若a 5 ,则对任意X1 , X 2(0,f(X1) f(X2)X1解：(1) f(x)的定义域为(0,)(x 1)(x 1 a)x、a 1x2 ax a 1f (x) x aXX(i)
14、若a 1 1即a 2,则f(x) 迸 故f(x)在(0,)单调增加。x .(ii)若 a 1 1,而 a 1,故 1 a 2,则当 x (a 1,1)时，f(x) 0 ；当 x (0,a 1)及 x (1,)时，f(x)0故f(x)在(a 1,1)单调减少，在(0,a 1),(1,)单调增加。(iii)若 a 1 1 ,即 a2 ,同理可得f(x)在(1,a 1)单调减少，(0,1),(a 1,)单调增加.1(II)考虑函数g(x) f (x) x - x2ax(a1)l nx x则 g (x) x (a 1) -12x 1(a1)1 (11)2由于1a5,故g (x) 0 ,即g(x)在(4, +)单调增加，从而当x x2 0时 有 g(xi)g(x2)0，即f(xjf(X2)捲x?0，故f(Xl)1，当X-I x20 x. X2 时，有 f(xi) f(x2) f(x2) f(xi)1xi x2x2 x.练习 1 已知函数 f(x) = ax 1 In x(a R). 讨论
