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1、3（盐城卷13题）若点G为:ABC的重心，且AG丄BG,则sinC的最大值为-。5解：设AG、BG延长线分别交BC、AC于点D、E,接下来有三种愚见仅供参考：解法一、建系，利用向量的夹角公式、基本不等式求解以重心G为坐标原点，BE 、AD 所在直线为X轴、Y轴建立坐标系，设A（0,2a），B（ -2b，0）,D（ 0，-a）,E（b,0），则C（ 2b, -2a）,再表示出CD, CE,最后利用向量夹角公式求出COsC，并利用基本不等式求出 cosC的最小值，进而求出 sinC的最大值。解法二、利用向量数量积、基本不等式求解 首先，AD - CD- CA =1 CB CA, BE = CE C
2、B = - CA CB，2 22 2 C 22-(CB + CA )其次,由 AD BE =0得 CB CA (CB CA )，从而 cosC = 5CB CA5ii最后，求出sinC的最大值。解法三、利用勾股定理、余弦定理求解 连接 DE，设 BC=a,AC=b,AB=c，由 AD _ BE 得 AGB AGE BGD DGE 均为 RT.I，将四个 RTA 中的勾股定理关系写出来就可以发现结论5c2 = a2 b2，再由余弦定理得cosC =b2c22aba2b2ab，最后，求出5sinC的最大值。【总结】三种解法都是建立在AG _BG基础上，充分利用重心的性质来求解的。三角形中的垂直关系不难想到坐标系、向量数量积、勾股定理相关知识!
