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1、1、行列式1.2.n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式; 代数余子式的性质： 、Aj和aij的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为3.4.代数余子式和余子式的关系：Mj =（-1）jAij设n行列式D :0；A ；Aij =(-1)，jMij将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为n (n 丄)D ,贝y D1 =(1L D ;n (n V)D2，则 D2 =(-1)h D ;D3，则 D D ；将D顺时针或逆时针旋转 90；，所得行列式为将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为将D主副角线翻
2、转后，所得行列式为D 4，则D4 = D ；5.、副对角行列式：副对角元素的乘积上、下三角行列式（）匚和丄：副对角元素的乘积n（ n 丄）（-1厂；:主对角元素的乘积;n （n 二）（-厂；行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的乘积;十i)mn AIb拉普拉斯展开式:范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值；6.对于n阶行列式A，恒有： E -A n -二（-1）kSk 丄，其中Sk为k阶主子式;7.证明A =0的方法： 、24 ； 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax =0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A） : n ; 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A
3、 -0 （是非奇异矩阵）；r （A）二n （是满秩矩阵）=A的行（列）向量组线性无关；=齐次方程组Ax =0有非零解；u b Rn , Ax =b总有唯一解；=A与E等价；=A可表示成若干个初等矩阵的乘积;=A的特征值全不为 0;=ata是正定矩阵；=A的行(列)向量组是 Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA* =.A A =A E无条件恒 成立；1 *11 TT 1* TT *3. (A -)=( A)-(A -)=( A )-(A )=( A)1 1 1 (AB)=BA(AB)= B A(AB)一 =B 一A -4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头
4、；行列式是数值，可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B可逆：若 A =A2 .，则：IF1,2,川，线性无关，贝V ,2川1,：-s丄必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上 n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且 A线性无关，则r空s（二版P74定理7）； 向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B） ； （ P86定理3）向量组A能
5、由向量组B线性表示二AX二B有解；:二 r（A） =r（A, B）（ P$5定理 2）向量组A能由向量组B等价=r（A）= r（B）= r（A, B）（ P$5定理2推论）8. 方阵A可逆u存在有限个初等矩阵 Pi, P2,|,R，使A = RI Pi ；r 、矩阵行等价：A B= PA =B （左乘，P可逆）二 Ax =0与Bx =0同解c 、矩阵列等价：A-B：= AQ=B （右乘，Q可逆）； 、矩阵等价：A- Bu PAQ=B（ P、Q可逆）；9. 对于矩阵Am n 与 Bl n : 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax二0与Bx二0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10若 Am sBs n -Cm n，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示， B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组Bx二0的解一定是 ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=0只有零解二.Bx= 0只有零解； 、Bx = 0 有非零解二.ABx= 0 一定存在非零解；12
