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1、内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作 者学院统计与数学学院专 业年级学 号指导教师 导师职称 最终成绩75分摘要关键词、预备知识1.无穷限反常积分2.瑕积分3。反常积分的性质二、反常积分的收敛判别法1无穷积分的收敛判别1)。定义判别法2)。比较判别法3)。柯西判别法(4)阿贝尔判别法。目录-25)。狄利克雷判别法2瑕积分的收敛判别。81).定义判别法2)。定理判别法3).比较判别法(4)。柯西判别法(5).阿贝尔判别法。210（6）。狄利克雷判别法10参考文献11摘要在很多实际问题中,要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此 得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和
2、瑕积分。我们将这两种积分 统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判 定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结 ,并给出了 相关定理的证明,举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理 判断反常积分的敛散性。关键词 :反常积分 瑕积分 极限 敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得 了许多重要的进展.如华东师范大学数学系编，数学分析(上册)，对反常积分积 分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法 .华中科技大学出版的数学分 析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解 ,还用图形的方法
3、说明其意义.引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用.众多学者研究的内容全而广,实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明 显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献 ,对我完成此 次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对 其进行归纳总结，举例说明其应用。一 、 预备知识1.无穷限反常积分定义1。1设函数f(x)在&,+* )有定义，若f(x)在d, A上可积(Aa)且当A- + -时，lim J Af (x)dx存在，称反常积分 厂f(x)dx收敛，否则A aa称反常积分J a / (x)dx与f (x)dx发散.一gg对反常积分J a
4、 /(x)dx与Jg f (x)dx可类似的给出敛散性定义。ggJ f ( x)dx 是收敛的. g注意:只有当J a f (x)dx和卜f (x)dx都收敛时，才认为gg2.瑕积分定义1：设f (x)在a的任何邻或内均无界，则称a为f(x)的一个瑕点定义2：设f(x)在a, b内有定义，且b为唯一瑕点，若lim Jf(x)dx存30+ a 在,称瑕积分 J f ( x)dx 收敛a定义 3:设 C & C，b )且为f(x)的一个瑕点，若 J Cf ( x )dx 和 J d f ( x )dxac收敛，则称瑕积分A f (x )dxa3。反常积分的性质(l)Cauchy 收敛原理：f (x
5、)dx 收敛 o 对 Vso, 3Aa，当 A A Aa 0 1 2 0时，有J A2 f (x) dxAi线性性质：若nf（兀皿与。0 g“兀都收敛，则对任意常数叫,k2,J订k f (x)aJgk f (x) + k ga 1 2a+ k g (x) dx2也 收 敛 ， 且 有(x) dx = kJg f (x)dx + k Jg g(x)dx2aa=1积分区间可加性，若f (x )dx收敛，则V b E a 9 +),aJg f (x)dx = Jb f (x)dx + J+g f (x)dx=。aabgg(4)若af（x）dx收敛，则f( x)dx二、反常积分的敛散性判别法1。无穷积
6、分的敛散性判别（1）定义判别法设函数f定义在无穷区间a, +g）上 且在任何有限区间a, u上可积如果存在极限lim J u f (x)dx = J , aU +8贝聊称+8 f （x）dx收敛，否则发散 即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不 a存在广义积分发散例1.1计算无穷积分J+8 xe-pxdx （p是常数，且p 0）0解：J+8 xe-pxdx 二一 e-px0p式中lim xepx 二 lim+8 +8二 limepxdx epxp21+8 二 0 p 2xT8xT8 epxxT8 pepxJ g f ( x )dx +gaJgg(x)dx =+g aJ g sin
7、x例1。2讨论J 0dx的收敛性解:由于sin x1 + x 21 x e 0, +g)1 + x 2 ，g s八n因为 1+7T = 2为收敛，所以根据比较判别法dxJ g 1+7dx为绝对0 1 + x2收敛。(3)比较判别法的极限形式T(x)，g (x)在s5 +“丿有定义，且非负，且 f ( x)lim= l nilxT+g g ( x)人则：(a)当 l = 0时，Jg g (x)dx +g= Ja(g f (x)dx +g a 彷)l = + g时,J 00 g (x)dx = +gn Jg f (x)dx 二 +g a(c) 0 l +g 时,aJgg(x)dx ， J f(x)
8、dx 具有相同点敛散性 aa证：(1)若 limx T+g倍=l *，由极限的性质，存在常数A(A a)有定义，且(2).比较判别法的普通形式：f (x)，g (x)在 +g)0 a f (x) a)(a) J g g (x)dx +gna(b) Jg f (x)dx =+ g na使得当 x A 时成立 即f(x)+oo g W使得当x - A时成立其中 0 l lg (x)于是由比较判别法,当 j g g (x)dx 发散时 j f (x)dx 也发散aa1例1。3讨论j13 x 4 + 3 x 3 + 5 x 2 + 2 x 一 1dx的敛散性解: limx Tgx4 + 3x3 + 5
9、x2 + 2x -1 X,而+g 1 dx 收敛,所以jgdx收敛1 3 x 4 + 3 x 3 + 5 x 2 + 2 x 一 1总结:使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函1数作为比较对象,在上面的例子中我们都是取 齐 为比较对象的，因为它们正好 能满足这俩个条件(4)。柯西判别法:设f (x)在a, +g)有定义，在任何有限区间a,u上可积，且lim x px Tgf (x) = 2 则有:+g 时，jgif (x)dx 收敛af (x) dx发散(5)。阿贝尔判别法: jf (x)g (x)dx 满足a(a) f (x)单调有界b)J g(x)dx 收敛 a则
10、J f (x) g (x )dx 收敛a证：由于存在M0，使|f (x) 0月Aoa，当人2込人0时，有J A2 f (x) g (x )dx Ai*f (x) g (x )dx =f (A)J g (x )dx + f (A ) J A2 g (x )dx1 ai2 z( + )=2 M *再次由柯西准则知Abe l定理成立.例1.4 证 J1* sin x,arctan xdx (0 A A)a则 J* f (x)g(x)dx 收敛 a证:由于存在 M0， J g(x)dx 有界a所以有J A g (x)dx M 又由于f(x) T 0(X T * )故对对 70，f (A?)-f (伸|
11、J zA2f (x) dx A2f (A )1i *A0时，有理有j A1 g (x) dx 2 M, 故当 A2，AA0时， 有j A2A1 4 M sf (x)g (x)dx f (A?” j: g (x)dx + f (A)|j A 1 g ( x ) dx例1。5证积分J； dx收敛,但不绝对收敛证：j A sin xdx1=|cos A - cos I xxsm xx(sin x 1)故 由 Dirichlet1 cos 2x2 x 2 xj A cos 2 xdxi卜筈竺dx收敛,12 xsin 2 A 一 sin 11 0时是可积的；当p 1时收敛；当P -13 t 0 33 t 0 p + 1x,若 p-1而当 p _1 时有 lim j 1 x-1 dx = lim (
