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1、植树问题公式单边植树(两端都植):距离+间隔长+1=棵数单边植树(只植一端):距离+间隔长二棵数单边植树(两端都不植):距离+间隔长-1=棵数双边植树(两端都植):(距离+间隔长+1 )X2二棵数双边植树(只植一端):(距离+间隔长)X2二棵数双边植树(两端都不植):(距离+间隔长-1) X2=棵数循环植树:距离+间隔数二棵数解释 : 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 : 在非封闭线路的两端都要植树 ,那么 :株数二段数+1=全长株距+1全长二株距x(株数1)株距二全长勺株数1) 在非封闭线路的一端要植树 ,另一端不要植树 ,那么 :株数二段数二全长出距全长=株距x株数株距二全
2、长宁株数 在非封闭线路的两端都不要植树 ,那么 :株数二段数仁全长株距1全长二株距X(株数+1)株距二全长勺株数+1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数二段数=全长株距 全长=株距x株数 株距=全长拥株数3、如果植树路线的两边与两端都植树 ,那么植树的棵数应比要分的段数多 1 ,再 乘二,即: 棵树=(段数+1 )x2。二、在封闭线路上植树 ,棵数与段数相等 ,即:棵数=间隔数。三、在正方形线路上植树 ,如果每个顶点都要植树 。则棵数= (每边的棵数 1) X边数。例 1 长方形场地 : 一个长 84 米, 宽 54 米的长方形苹果园中 ,苹果树的株距是 2 米, 行距是 3 米这个苹
3、果园共种苹果树多少棵 ?解: 解法一: 一行能种多少棵? 84 +2=42(棵).|这块地能种苹果树多 少行? 54 +3=18(行). 这块地共种苹果树多少棵? 42 X18=756(棵). 如果株 距、行距的方向互换,结果相同:(84 +3)X(54 -2)=28 X27=756(棵).解法二: 这块地的面积是多少平方米呢? 84x54=4536( 平方 米). 一棵苹果树占地多少平方米呢 ?2x3=6( 平方米 ). 这块地能种苹果树多少棵呢?4536托=756(棵).当长方形土地的长 、宽分别能被株距 、行距整除时 ,可用上述两种方法中 的任意一种来解 ; 当长方形土地的长 、宽不能被
4、株距 、行距整除时 ,就只能用第 二种解法来解 .但有些问题从表面上看 ,并没有出现 “植树”二字,但题目实质上是反映封闭 线段或不封闭线段长度 、分隔点 、每段长度三者之间的关系 。锯木头问题 就是典型的不封闭线段上 ,两头不植树问题 。所锯的段数总比锯 的次数多一 。上楼梯问题 ,就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔,那么 :上楼所需总时间 二(终点层一起始层)X每层所需时间。而方阵队列问题 , 看似与植树问题毫不相干 ,实质上都是植树问题例2 直线场地:在一条公路的两旁植树 ,每隔3米植一棵,植到头还剩 3棵;每隔 2.5米植一棵,植到头 还缺少 37 棵 ,求这条公路的长度 。
5、解法一:(代数解法 ) 设一共有 x 棵树 【(x-3 ) /2-1 】X3= 【(x+37 )/2-1 】X2.5 x=205 公路 长:【(205-3 )/2-1 】X3=300 得 :公路长度为 300 米解法二 :( 算术解法 ) 这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑 :首先 ,我们在两边起点处各栽下 一棵树 ,这两棵树与路长没有关系 , 以后每栽下一棵树 ,不论栽在哪一侧 ,植树的路线 (不是路 )就 增加一个间距 ,为了简单起见 ,我们按单侧植树来考虑 。当按 3米的间距植树时 ,最后剩下 3 棵,也 就是说植树的路线要比路长出 3 个间距 ,3X3=9 米,当按 2.5 米的间距植
6、树时 ,最后还缺 37 棵树 , 也就是说植树的路线比路短了 37 个间距 ,2.5X37=92.5 米, 两次相差 9+92.5=101.5 米,两次植树的 间距相差是3 2.5=0.5米,据此可以求出树的棵数:(不包括起点的2棵)101.5 +0.5=203 (个) 知道了树的棵数 , 就可以求出植树路线的长度了 :3X(2033)=600 (米) 或 2.5X(203+37 )=600(米) 因为是双侧植树 , 所以路长为 :600+2=300 (米) 综合算式为 :3X (3X3+2.5X37)+(32.5)3 +2=300 (米) 或 2.5X(3X3+2.5X37)+(32.5)+
7、37 +2=300 ( 米) 答:( 略)例3圆形场地 (难题):有一个圆形花坛 ,绕它走一圈是 120 米。如果在花坛周围每隔 6 米栽一株丁香花再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花 。 可栽丁香花多少株 ? 可栽月季花多少株 ? 每 2 株紧相邻的月季花相距多少米解: 解:根据棵数=全长十间隔可求出栽丁香花的株数:120十6=20 (株) 由于是在每相邻的 2 株丁香花之间栽 2 株月季花 ,丁香花的株数与丁香花之间的间隔 数相等,因此,可栽月季花:2 X20=40 (株) 由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的,而 2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份,因此紧相邻2
8、株月季花之间距离为:6 +3=2 (米)答: 可栽丁香花 20 株, 可栽月季花 40 株, 2 株紧相邻月季花之间相距 2 米。例4例 4 在圆形水池边植树 ,把树植在距离岸边均为 3 米的圆周上 , 按弧长计算 , 每隔 2 米植一棵树 ,共植了 314 棵。水池的周长是多少米 ?( 适于六年级程度 ) 解: 先求出植树线路的长 。植树线路是 一个圆的周长,这个圆的周长是:2 X314=628 (米)这个圆的直径是:628 +3.14=200 (米)由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上,所以圆形水池的直径是:200-3 X2=194 (米) 圆形水池的周长是:194 X3.14=609.1
9、6 (米)综合算式:(2 X314 +3.14-3 X2)X3.14 = (200-6 )X3.14=194 X3.14=609.16 ( 米)例5小明家门前有一条 10米长的水沟 , 在沟的一侧每隔 2米栽一棵树 ,一共可栽几棵 ?(两端都植树 )按常规解法 , 答案应该是 6(10+2+1 ) 棵,同理 ,如果小光家门前也有一段 10 米长的水沟 , 同样可 以栽 6棵, 也就是两家一共可以栽 12 棵, 这并看不出有什么不妥 。但是, 当小明与小光家是邻居时 , 我们再计算一下 : 两家的水沟总长是 20 米, 20+2+1=11( 棵), 也就是两家一共可以栽 11 棵树, 结果 比上
10、次计算少了一棵 (本人称之为 “邻里冲突 ”),这是因为在端点处有两棵树 “重合”了, 这两棵树的 间距为 0, 与题中要求间距 2 米不符 ,因此, 可以看出两端植树是不妥当的 。但如果两端都不植树 , 又会出现公共点没有树邻近的两棵树间距 4 米的情况 , 仍与题意不符 。那么一端植树又会怎样呢 ?这 种要求是无法实现的 , 因为当一方在与邻家相接的端点上植上树后 , 就会使邻家地段两端都有树存在 还是不合题意 。因此 , 要求在端点上植树 (或不植树 )都会出现矛盾 ,这样的计算方法也不能正确的 反映出各个数量间的关系 。数学是一门严谨的科学 , 出题者固然可以任意给定条件 , 但用不同
11、的计算方法得出的结果应该是相同的当计算结果出现矛盾时 , 应该找出问题的原因所在 , 不能简单的用小明家可栽树:10 +2=5 (棵)两树重合 ”来解释解释 。 再按照 “棵树=段数 ”的方法计算一下小光家可栽树:10*2=5 (棵) 两家一共可栽树 10棵。当两家是邻居时,可栽树:(10+10 ) +2=10( 棵) 两次计算结果相同 , 因此可以说这种计算方法才能正确的反映出各个数量之间的关系。为什么说常规的解法不够正确呢? 那是因为在常规解法中, 只考虑了植树路段为一家独有的情况 , 多栽或少栽一棵都不会出现 “争议 ”,也就无法判定栽法是否妥当 。然而当植树路段为多家共有时就会出 现一方或双方将树栽到了公共端点上的情况 ,从理论上讲这是不正确的 。 相对于 “路边加一 ”,楼“间减 一”也无道理 , 因为完全可以按 “间距 2米”栽下 5棵而不是 4棵树, 至于端点处的两棵树与楼相距只有 1 米的情况 , 与题意并不矛盾 :1 、要求 “间距 2 米”可以认为每棵树需要 2 米的生长空间 , 端点的树和中间的树同样都具有 2 米的空间 ;2、如果把“楼”也看做 “树”而使间距不足 , 那么则是因为 “他”将树栽倒了公共端点上而侵占了 “我”的空间 ,“我 ”并没有栽错 。( 点击图片可放大 )