《新版高考数学理科必考题型：第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高考数学理科必考题型：第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径内容精要抽象函数有关知识在有些省市已经属于常考内容，考查形式以选择题和填空题为主，考查的知识主要是函数性质，要求对函数的性质非常熟悉才能解决，解决办法主要是利用赋值和特殊值来解决题型一与抽象函数有关的函数性质问题例1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的()A既不充分也不必要的条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D充要条件破题切入点周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件答案D解析f(x)在R上是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称f(x)为0,1上的增函数，f(x)为
2、1,0上的减函数又f(x)的周期为2，f(x)为区间14,043,4上的减函数f(x)为3,4上的减函数，且f(x)的周期为2，f(x)为1,0上的减函数又f(x)在R上是偶函数，f(x)为0,1上的增函数由知“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件题型二与抽象函数有关的函数零点问题例2设函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，则方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上的根的个数为()A802 B803 C804 D805破题切入点将条件转化为我们所熟悉的知识答案D解析f(7x)f(7x
3、)f(2(5x)f(2(5x)f(3x)，即f(x10)f(x)，所以函数的周期为10，且对称轴为x2，x7，在0,10内，f(1)f(3)f(11)f(13)，所以一个周期内只有2个零点，在0,2 011内2 011201101有20121403个，在2 011,0内2 011201(10)1，有201个周期且f(1)0，此时有2012402个零点，合计805，故选D.题型三与抽象函数有关的新概念问题例3设V是全体平面向量构成的集合若映射f：VR满足：对任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以及任意R，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，则称映射f具有性质P，现给出如下映射
4、：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性质P的映射的序号为_(写出所有具有性质P的映射的序号)破题切入点准确把握性质P的含义答案解析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)对于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2)，而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，具有性质P.对于，f2(m)x2y，设a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2
5、(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1)，又是任意实数，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故不具有性质P.对于，f3(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性质P.综上，具有性质P的映射的序号为.总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是
6、必须过好的两关，把握好函数的性质(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法1设f(x)为偶函数，对于任意的x0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)等于()A2 B2 C8 D8答案D解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，当x1时，f(21)(2)f(21)，f(3)(2)48，f(3)8.2对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的()A充分而不
7、必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析若函数yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)此时|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出yf(x)为奇函数，故“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的必要而不充分条件3函数f(n)logn1(n2)(nN*)，定义：使f(1)f(2)f(k)为整数的数k (kN*)叫做企盼数，则在区间1,10内这样的企盼数共()A2个 B3个 C4个 D5个答案A解析依题意有f(1)log23，f(2)log34，f(3)log4
8、5，f(k)logk1(k2)，则有f(1)f(2)f(3)f(k)log2(k2)令log2(k2)m，则k2m2，由k1,10得12m210，32m12，kN*，m2,3，故所求的企盼数共有2个4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数答案A解析由f(x)是偶函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函数可得g(x)g(x)，故|g(x)|为偶函数，f(x)|g(x)|为偶函数5定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)，且在3，
9、2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是()Af(sin )f(cos ) Bf(sin )f(cos )Cf(cos )f(cos )答案B解析因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)f(x)，又f(2x)f(x)，所以f(x2)f(2(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)以2为周期，因为f(x)在3，2上是减函数，所以f(x)在1,0上也是减函数，故f(x)在0,1上是增函数，因为，是钝角三角形的两个锐角，所以，则0sin sincos 1，故f(sin )0)，其图象如图所示，则方程f(g(x)0根的个数为 ()A2 B3 C5 D6答案D解析由f(x)的图象可知
10、方程f(x)0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因为ax1a，g(x)a，a，所以由g(x)的图象可知yx1与yg(x)的图象有两个交点，即方程g(x)x1有两个根，同理g(x)x2，g(x)x3各有两个根，所以方程f(g(x)0有6个根7如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x)0，f(g(x)0的实根个数分别为m，n，则mn_.答案12解析由图象可知偶函数f(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(2，1)与(1,2)中，值域是1,1；奇函数g(x)的1个零点是0，另外2个零点
11、分别在区间(1,0)与(0,1)中，值域是2,2只有当f(x)0时，f(f(x)0，故实根个数m3.存在3个实数x，使g(x)0，f(g(x)0；存在3个实数x，使g(x)(2，1)，f(g(x)0；存在3个实数x，使g(x)(1,2)，f(g(x)0，故实根个数n9.从而mn12.8设yf(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于函数yf(x)的判断：yf(x)是周期函数；yf(x)的图象关于直线x1对称；yf(x)在0,1上是增函数；f()0.其中正确判断的序号是_答案解析由f(x1)f(x)可得f(x2)f(x)，正确；因为yf(x)是定义在R上的偶函数，可知yf(x)的图象关于直线x1对称，正确；显然错误；由f(1)f()f()f()得f()0，正确9函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)
