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1、时间序列模型参数估计1 理论基础1.1矩估计111AR模型矩估计法参数估计的思路：一艇自回归过程考虑P阶自回归模型主具有岛R特征多项式;Yr=丸萝I十丸+斗漓(4.3.25)(4.3.26)和相应的AR特征方程:101工一衣才一一申庄卩=0(4.327)如冊所述.假设务独立于叫乳-护乳“当且牧晋AR特征方程每一亍根的绝对值模、都大于1,方程(4.3.27)存在乎稳解.多顼武根和系数之间的菇他关条可以用来证明以下两牛不等式捱満足平臆性的必要条件.也就是说丫为了保证特征方程根的模犬于1，以下两个不礬式展必灵条件但不是充分条件：(4.3,28)右+札+III1假定序列平稳并扛均值为零在方程(4.3*
2、25两边乘以丫并求期望然后再隐以可炭获得WlFB要的递归关系匕糾=松应讣+爲建g+対丹-3十+0和矗(4.3,29)把2,和卫代人方程(4.3.29),根据-1,得到一般YwlWalker方程组：C4.3.30)=斬十札卩】+札阳+札9小pt=較pi+论+hpi+*+pfi=曜叶1+札叶M+触叶$十+叽酌定施札宀心的值，可皿求解哦线性方程组得到肥十心的值从而方程(4.3.29)可以用来求得任意高阶时的阳一般的悄况过桎娄似.得到在嘲嵐（.或跖贞】YuleWalker方程中用心优督枷*模型*方程然后求其对应的参数e值3.m能够导出薛=1r,-超敵辭112MA模型对于MA模型采用矩估计是比较不精确的
3、，所以这里不予讨论113ARMA（1，1）矩估计法参数估计的思路：混舍模型我们只老虑ARMAd,1）的情况.回忆方程4.4.5）：_f1一郎）W0）府_lL-,101劇工*心1注意汩辄=*、百先估计必为(7,1.5)燃后*可以使用一&辭gy&）rt=H閱*+甘来求解衣需要再次提醒的是，必须求解m方穆，并仅保醫其可逆解丫假如存在的培、噪声方鑿估计故岳需要估计的参数是噪声方差任何精况下*首先都町以通过如下样本方羞嫌怙卄过程的方差y.=VarY-再对百Jft小代30d有酱上式等于零.求解/阳刮遇E?=丈;乱您一刃一詆em-nStY,-YH.3-Y）*=C-2除了分母中少-项r即（人一仍打诙式与F相等
4、，対平稔H程*谦*这个峡顼是可口恕嘻的丙就岫小乘弓耙牯计&几乎相等*特则是对玄样本而言*对于AR（P）而言也可以得到类似矩估计得到的方程，即最小二乘与矩估计得到的估计量相同。1.2.2 MA模型最小二乘参数估计的思路：滑錨平均模型一现住考虑MA(n樸凉中8的呈小二乘怙计1F,=旬一弘I(7.ZID乍石之下如何庄这类税理上应用最小二乘或回归的曲底井用歴軽而易见的.但皑，冋顾方程(1-2).可逆MA(1)槟型町旦報示均,弓一眇“一护宀一申犷宀一+口这世是-乍白回聘模取的形武，但其阶数暹尤穷的-如此，运用址小二乘医就锤理感朮了，逋过选母0的值便下式皿小址：杭创=(朴尸=艺已+砒=+护Hi+毋Ft+丁
5、7.2.12)茸中瞪示了6=Jp|,也需求助于数值优化技术这里还有则的间题t吒没宵址明方蹴(7.S.LZJ中求利顼貝有坍确的扱限也未说明如柯牡理求和起号下的兀穷级数，为烬决上述问题，茗虑结楚一伞单独冷0值来对乂进行评牯.遠里观测序列F叫严丫”是唯一叩用的苯把方穆(7,2.11)虫写为乱Yr+饥L)C7.2,13)利用该方程*如果已知初始值和.则可以递推汁算內注环常用的近毅法是香旳=0-其期审值.刚在5=0的条件T*可得旳=Xe；吐Fq+%|tj=Yj+(7h14)G叫+佻1.这挥就对这于皓定的&值以皿=心为杀存计算了民)=工；3广在貝科亍套数的简锻惰危*可在&的可逆域(lt+上进行网帚式嘿翡来
6、求得平方和的垠小值-討于更-、叙的MA(和模韓则需亞应用fclCausaNrwton或4fNcldcr-詔僚数價优比箕法.对伪阶制动甲均模劇.思路类似，也不会橇碉新的国难.自F式迭优计算盛=咼祐，血严战hrdY(+Qirt-i+SEtf-tH+阳宀(7.2,15)其中商=上,=-=ed=0.便用窖无数值埠法*可氐就轴+吐心咲住地辈艇平方和的绘小值.1.2.3 ARMA模型最小二乘参数估计的思路起台摸型I)的惰况r=般J-re,-%Td片井期虫梅E屏仞=甘罐小彳匕町耙舟程(7.2.16)軍新写罐耳=乳一阳；】+匪八2-V)为求得们武里畜于额外的a启动”向題+即珀.一种方法是当模型包含非零均值时*
7、令Yu0或零于E*桓还有-个坐好的方拄，即从f=2开绘递推*从面完全避开了“只寒简单胞漲小化弊血-就r-2对一竝的启RM&p*機墜+计养片=祈Y,_tiYjIfYr.,+SiH十緘m+十琴f人氏18X中即=片尸=亦匚严恥然点用数tft算崔昼小化也，母胡点严心人来得到所有募薮的采件城小二乘估计.对大抨車面言初始值孙吗”】，皿厂朗选璇对于可逆模型相应娄数卑点*出的地址怙计粧响甚微，1.3极大似然估计与无条件最小二乘估计沁G=SLcy,-?j-枇片一曲丁+门一带HYl小戸為，5)j-i函数SAQ称为无条件平方和画拋.一般而吉似裁碉数的对数比譴半身更便于处理一对AR$仙卢)C7.3.6鉛定或和严的值.
8、川、中tr；1可以逋过待皇的怙计罐单和尸解析地求其爻于农的城丸值;得期谢:聖0也2(7.3,7)和许妄奥強类械的情况一样.为簿到无偏佶计址通常除揺rt-2而不是讥国为所怙计的是涌个参数*和严.对典風的时间序列样本負来说*这样憑的赴别不大.现在泻虑和产的怙计.比较无茶忡平方和确数欣札0与再程C7.S-2)的条件卒方和贈数気(札讣邯喪现如戸崗单的走别：眾札川=&対中)+(1-)(Y|一产尸(7.3.8)因为Q包抵n-1项的和.而门一小(一严尸不害nt所以有S曲立虽筑*G因此，便得Q或民烬Q摄小化的卒和尸的值应谖非帘接近至少在大样木的悄祝芋如此.当里得最小值时0恰裡平穂边界土的附近遠种情况下方程(7
9、.3.B)圮右边项的效果将更可观.兎聚件垠小二舉如集社条件琨小二乘怙计耳兗全扱大很然怙计之阿橄个折中的话可以茗更帀求无条件堆小二栗也计即谨过fit小牝申Q来得到佔讣.遗憾的是丫(I亠屛“阶-芦护项便得方程笳/酣=0利笳/撫=关于审和尸是非统性的*面巫新奏数化到一于常数项佩=$门-封也尤助护狀况的根本改着.因此最小化必须通过數值化为式进标所得的怙计称为无無件覘小二乘2 R中如何实现时间序列参数估计2.1对于AR模型 ar(ar1.s,order.max=1,AlC=F,method=yw)率卩矩估计Call:ar(x=ar1.s,order.max=1,method=yw,AIC=F)Coeff
10、icients:10.8314Orderselected1sigma人2estimatedas1.382 ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method=ols)#最小二乘估计Call:ar(x=ar1.s,order.max=1,method=ols,AIC=F)Coefficients:10.857Intercept:0.02499(0.1308)Orderselected1sigma人2estimatedas1.008 ar(ar1.s,order.max=1,AIC=F,method=mle)#极大似然估计Call:ar(x=ar1.s,order.max=1,me
11、thod=mle,AIC=F)Coefficients:10.8924Orderselected1sigma人2estimatedas1.041采用自编函数总结三个不同的估计值 Myar(ar2.s,order.max=3)最小二乘估计矩估计极大似然估计11.51371461.46944761.50613692-0.8049905-0.7646034-0.79644532.2对于ARMA模型的三个参数分别代表R差分的阶数arima(arma11.s,order=c(1,0,1),method=CSS)Call:arima(x=arma11.s,order=c(1,0,1),method=CSS
12、)Coefficients:ar1ma1intercept0.55860.36690.3928s.e.0.12190.15640.3380sigma人2estimatedas1.199:partloglikelihood=-150.98arima(arma11.s,order=c(1,0,1),method=ML)Call:arima(x=arma11.s,order=c(1,0,1),method=ML)Coefficients:ar1ma1intercept0.56470.35570.3216s.e.0.12050.15850.3358sigma人2estimatedas1.197:loglikelihood=-151.33,aic=308.65采用自编函数总结三个不同的估计值Myarima(arma1
