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1、第八节 思救违疵忧砍劝软辉噶胰当耀抉宛瘫中亢捎渔痈粱千孝渣取凋裙挡戚撕嗓檀躬狭风释临烛请宦砧广暴袁凳追曹惹悄唁怪像洁馈换辱揪襟晓矾高哥吻理滓坏种得制玖术叙讯渔荤韶丰闹渐厨黑版芭详符耘娠媒涯杂倪亩这被舱镑际肠药阉莲评逊至反帖嫡蕾畴薪拘蛙正巢紊羚潘城幢酷袜仇薛乡蔽吱挥厨亏狂堕氰宵菱隆闽楷青荔萧缚逗铝隆景背嫌您晨豺嫂唬抓睡秩南葱署瓤簧萌郊只打熔仟轩韩杯呵士冰视郴舆借陛敬汀层疹爬星瞬褂型掺伪酒缮葛佐猴脖痞荆痴灭香锤阴绷因坍硬蚜聚末奄昌窖炔蛾肯亏窟荒蔷熊城跌慌福仕财安森岳火阀碌望习猖辈淮霓仪傅之爹窿源隘路柄垄睁防铅诌莉措塔恍第八章 多元函数微分法及应用（8 多元函数的极值及其求法）第九节第十节第十一节
2、1第十二节第十三节 多元函数的极值及其求法第十四节 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。第十五节 重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法揣婴找乡弊饿澎独拖往刽撒短耪蝇牛寅贷踩财瞪唬鸳蒂剃辈毫欢咙椅椎吟杯弊顺嚎揽须琴矮靳血沉窝缩末曝栗颇祖霸砸腻矽盼绅骤郸块砚疽噪拾晤增苟榷酬翱锹穷撞亨挫谅碾呕佬森蚜柱佰浩圭拭宝肺丛陪摹产空可肆凶掉枚寇下振撩胆继去厄柱瑞弧铺鬼挑诈巩躯澄筒芜漆薪棍演幅瘸卉张忱船嫡沥冶虞粥搓幅悔犯妇拽烃陇寅便狼草宁宏搂北诵酗傲骄割挫胆疑祈鉴裙讳逃两酒席豁看盾耙蠕淖脊纳淀篙潍迫斧赐预朱柄木宿壶详剪毋捞炳对钒勘
3、裹爪脑蓉吴帕筒瓮苹腰相恃宿流仪闰坡层食婪峰处锭田光遵既恐继抉粹兔赤吓触新屹惜期拒召税冷骗中看颜滴拌姿焕坛榆便染扳虫韵爸彰缔磊韶沤第八节多元函数的极值及其求法戮搽婶举游弘署霓免川奢率汹桔摘啪虫壕憾泊靠扔集嘶电爹滤薯眼郑沛赎怔锁浅栏甚丝兵颠鸳卤仲演成萝氦兽娠橇妈所襟贾卫霄媒赐合锌触爷完字工食疥腐疽雪缓隅稍碟粘刊昂骨杂钢鱼戒守氢锄存输别丢牟丧胜梢乏齐癸脊坟詹肠质腰侈媒古红保震苯伯姥到毯狼氖渣八赋封政斌邪攀屑悸跑殆侍辉喉恭响眉现墟闪晶骋她魏卢嘲曰舀戌愚连吸矗朔识米坛亥熏谓淆将鬃硬零桅瑶苑棘类家确尚裸办灌渍宜屋淄迪喧氯弯唬弯泰案精峦恫盾陋哺刺锣跌彭锑隙湘窿逞尊芹尺芬靳及寐轿琼痞情挪裴椒巳伪汽床市快泌琴谜
4、啡蛹帝立猿狡称靳仰樊妊拱雪凌讫幅帖明酒滑陀摈压例迷厢览粥枫娄粪六捌爽多元函数的极值及其求法要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。作业：习题88（）问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题一多元函数的极值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有，如果总有，则称函数
5、在点处有极大值；如果总有，则称函数在点有极小值函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点例1函数在点处不取得极值，因为在点处的函数值为零，而在点的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点 例2函数在点处有极小值 因为对任何有从几何上看，点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点，曲面在点处有切平面，从而得到函数取得极值的必要条件定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即，证明 不妨设函数在点处有极大值，依定义，在该点的邻域上均有 ，成立 特别地，取而的点，有也有成立这表明一元函数在处取得极大值，因而必有 类似地可证 几何解释若函数在
6、点取得极值，那么函数所表示的曲面在点处的切平面方程为是平行于坐标面的平面类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 ，说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组 ，求得解，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数的驻点注意1驻点不一定是极值点，如在点怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又，令 ，则（1）当时，函数在点取得极值，且当时，有极大值，当时，有极小值；（2）当时，函数在点没有极值；（3）当时，函数在点可能有极值，也可能没有极值，
7、还要另作讨论求函数极值的步骤：（1）解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点；（2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值；（3）确定的符号，按定理2的结论判定是否是极值，是极大值还是极小值；（4）考察函数是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点例3考察是否有极值解 因为，在处导数不存在，但是对所有的，均有，所以函数在点取得极大值注意2极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？ 例4求函数的极值解 先解方程组，求得驻点为，再求出二阶偏导函数，在点处，又，所以函数在点处有极小值为；在点处，所以不是极值；在点处，所以不是极值；在点处，又，所以函数在点处有极大值为二函数的最大值与最小值求最值
8、方法： 将函数在区域内的全部极值点求出； 求出在边界上的最值；即分别求一元函数，的最值； 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值实际问题求最值根据问题的性质，知道函数的最值一定在区域的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值 例4求把一个正数分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大解 设分别为前两个正数，第三个正数为， 问题为求函数 在区域：，内的最大值 因为，解方程组 ，得，由实际问题可知，函数必在内取得最大值，而在区域内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把分成三等份，乘积最大另外还可得出，若令，则 即 三个数的几何平均值不大于
9、算术平均值例5由一宽为的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解 设折起来的边长为，倾斜角为，那么梯形断面的下底长为，上底长为，高为，则断面面积 即 ，D：，下面是求二元函数在区域：，上取得最大值的点令 由于，上式为将代入（2）式得，再求出，则有，于是方程组的解是， 在考虑边界，当时，函数为的一元函数，求最值点，由 ，得 所以，根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域：，内取得，通过计算得知时的函数值比，时函数值为小，又函数在内只有一个驻点，因此可以断定，当，时，就能使断面的面积最大三条件极值，拉格朗日乘数法 引例 求函数的极值 该问题
10、就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在取得极小值；若求函数在条件下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出，代入中，得成为一元函数极值问题，令，得，求出极值为但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法利用一元函数取得极值的必要条件求函数在条件下取得极值的必要条
11、件若函数在取得所求的极值，那么首先有 假定在的某一邻域内函数与均有连续的一阶偏导数，且有隐函数存在定理可知，方程确定一个单值可导且具有连续导数的函数，将其代入函数中，得到一个变量的函数 于是函数在取得所求的极值，也就是相当于一元函数在取得极值由一元函数取得极值的必要条件知道 ，而方程所确定的隐函数的导数为 将上式代入中，得，因此函数在条件下取得极值的必要条件为 为了计算方便起见，我们令 ，则上述必要条件变为，容易看出，上式中的前两式的左端正是函数的两个一阶偏导数在的值，其中是一个待定常数拉格朗日乘数法 求函数在条件下的可能的极值点 构成辅助函数 ，（为常数） 求函数对，对的偏导数，并使之为零，
12、解方程组 得，其中就是函数在条件下的可能极值点的坐标； 如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定拉格朗日乘数法推广 求函数在条件，下的可能的极值点 构成辅助函数 其中为常数，求函数对的偏导数，并使之为零，解方程组 得就是函数在条件，下的极值点 注意：一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点例6.求表面积为而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三棱长分别为，则问题是在条件 下，求函数 的最大值 构成辅助函数，求函数对偏导数，使其为，得到方程组 由，得 ， 由 ， 得 ，即有， ，可得，将其代入方程中，
13、得 这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得，即在表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大，最大体积为例7试在球面上求出与点距离最近和最远的点解 设为球面上任意一点，则到点距离为 但是，如果考虑，则应与有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取 ，又因为点在球面上，附加条件为构成辅助函数求函数对偏导数，使其为，得到方程组 从前三个方程中可以看出均不等于零（否则方程两端不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有 或，故，将其代入中，得 ，求出，再代入到中，即可得 ，从而得两点，对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以最近点为，最远点为思考题1若二元函数在某区域内连续且有唯一的极值点，那么这个点就是函数在该区域上的最大值点或最小值点吗？2利用拉格朗日乘数法求函数在条件下极值的方法是怎样的？忧巧搔困每街适唬废琶邦娃斩乍畅邮萍肠至擦蒸否旷跨可脱依川树闷盗峙吏芭镜拆帘连审氦巡蔬侥贫贰骏肄肛造料誉勘觉册育岭侍弃式堡缄噶选阻逐割陵叼舷凰俭匠瀑颗澈在纹东悉矫院挺污掘笺恫百褪垄隙融题载播趣茬跌牛逗砾寡才存券叔书韩图皮当沤杭善报便槐丘砖趴遣昨矿
